Значения m и n, при которых векторы a(-4;m;2) и b(2;-6;n) коллинеарны.

Для того чтобы векторы были коллинеарными, они должны быть пропорциональными друг другу. Это значит, что существует такое число ( k ), что каждая компонента вектора ( \mathbf{a} ) умноженная на ( k ) будет равна соответствующей компоненте вектора ( \mathbf{b} ). Имеем векторы ( \mathbf{a} = (-4; m; 2) ) и ( \mathbf{b} = (2; -6; n) ).

Пусть компоненты данных векторов соотносятся следующим образом:

1. (-4k = 2),
2. (mk = -6),
3. (2k = n).

Из первого уравнения найдём ( k ): [ -4k = 2 \implies k = -\frac{1}{2}. ]

Теперь подставим найденное значение ( k ) во второе уравнение, чтобы найти ( m ): [ m \left(-\frac{1}{2}\right) = -6 \implies m = 12. ]

И, наконец, подставим ( k ) в третье уравнение для нахождения ( n ): [ 2 \left(-\frac{1}{2}\right) = n \implies n = -1. ]

Таким образом, векторы ( \mathbf{a} = (-4; 12; 2) ) и ( \mathbf{b} = (2; -6; -1) ) коллинеарны при ( m = 12 ) и ( n = -1 ), что можно проверить, подставив значения в соотношения и убедившись в их равенстве: [ \frac{-4}{2} = \frac{12}{-6} = \frac{2}{-1} = -2. ]

Таким образом, значения ( m = 12 ) и ( n = -1 ) удовлетворяют условию коллинеарности векторов ( \mathbf{a} ) и ( \mathbf{b} ).

Два вектора коллинеарны, если они параллельны и направлены в одном и том же направлении или в противоположных направлениях. Для того чтобы определить значения m и n, при которых векторы a и b коллинеарны, необходимо найти коэффициенты пропорциональности между их компонентами.

Пусть вектор a(-4;m;2) коллинеарен вектору b(2;-6;n). Тогда можно записать:

-4/2 = m/-6 = 2/n

Отсюда получаем два уравнения:

-2 = m/(-6) => -2 = m/-6 => m = 12 -4 = 2/n => -4 = 2/n => n = -1

Таким образом, значения m и n, при которых векторы a и b коллинеарны, равны m = 12 и n = -1.