Запиши трёхзначные числа, первая цифра которых — 6, и они делятся на 3 и на 5, но не делятся ни на 2,...

Давайте разберём задачу подробно, шаг за шагом.

Условия задачи

1. Мы ищем трёхзначные числа, то есть числа от 100 до 999.
2. Первая цифра числа должна быть 6. Это значит, что число находится в диапазоне от 600 до 699.
3. Число должно делиться на 3 и на 5.
4. Число не должно делиться на 2 (то есть оно нечётное).
5. Число не должно делиться на 9.

Разбор условий

1. Числа от 600 до 699

Все возможные числа, которые начинаются на 6, лежат в диапазоне от 600 до 699.

2. Число делится на 3

Число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3. То есть, если ( S = a + b + c ), где ( a ), ( b ), ( c ) — цифры числа, то ( S \mod 3 = 0 ).

3. Число делится на 5

Число делится на 5, если его последняя цифра — это 0 или 5.

4. Число не делится на 2

Для этого числа должны быть нечётными. Это значит, что последняя цифра числа должна быть 5 (так как 0 — чётная цифра).

5. Число не делится на 9

Число не делится на 9, если сумма его цифр ( S ) не делится на 9.

Решение

Итак, мы ищем трёхзначные числа, которые начинаются с 6, заканчиваются на 5 (чтобы выполнялось деление на 5 и число было нечётным), делятся на 3, но не делятся на 9.

Число принимает вид ( 6xy ), где ( x ) и ( y ) — оставшиеся цифры. Так как последняя цифра — это 5, числа будут выглядеть как ( 6 _ 5 ). Они лежат в диапазоне от 605 до 695.

Проверка делимости на 3

Число ( 6xy ) делится на 3, если сумма цифр ( S = 6 + x + 5 = 11 + x ) делится на 3. То есть ( 11 + x \mod 3 = 0 ). Решая это, мы видим, что ( 11 \mod 3 = 2 ), поэтому ( x \mod 3 = 1 ). Это значит, что ( x ) может принимать значения, дающие остаток 1 при делении на 3: ( x = 1, 4, 7 ).

Проверка делимости на 9

Число не должно делиться на 9. Для этого сумма цифр ( S = 11 + x ) не должна делиться на 9. Мы проверим это для каждого подходящего значения ( x ).

Проверка всех возможных чисел

1. ( x = 1 ): Число: ( 615 ), сумма цифр ( S = 6 + 1 + 5 = 12 ).
   Делится на 3 (так как ( 12 \mod 3 = 0 )), но делится на 9 (так как ( 12 \mod 9 = 0 )). Не подходит.

2. ( x = 4 ): Число: ( 645 ), сумма цифр ( S = 6 + 4 + 5 = 15 ).
   Делится на 3 (так как ( 15 \mod 3 = 0 )), но делится на 9 (так как ( 15 \mod 9 = 0 )). Не подходит.

3. ( x = 7 ): Число: ( 675 ), сумма цифр ( S = 6 + 7 + 5 = 18 ).
   Делится на 3 (так как ( 18 \mod 3 = 0 )), но делится на 9 (так как ( 18 \mod 9 = 0 )). Не подходит.

Итог

Подходящих чисел нет.

Для того чтобы найти все трёхзначные числа, первая цифра которых равна 6, и которые делятся на 3 и на 5, но не делятся ни на 2, ни на 9, мы будем следовать поэтапно.

1. Определение диапазона трёхзначных чисел, начинающихся с 6: Все такие числа имеют вид 6XY, где X и Y — цифры от 0 до 9. Таким образом, диапазон этих чисел — от 600 до 699.

2. Условия делимости:

   • Делимость на 5: Трёхзначное число делится на 5, если его последняя цифра (Y) равна 0 или 5. Следовательно, Y может быть только 0 или 5.
   • Делимость на 3: Чтобы число делилось на 3, сумма его цифр должна делиться на 3. Сумма цифр числа 6XY равна 6 + X + Y.

3. Проверка чисел на делимость на 5:

   • Для Y = 0: Число будет иметь вид 6X0.
   • Для Y = 5: Число будет иметь вид 6X5.

4. Проверка делимости на 3:

   • Для Y = 0: Сумма цифр будет 6 + X + 0 = 6 + X. Это число делится на 3, если (6 + X) % 3 = 0. Поскольку 6 делится на 3, то X должно быть кратно 3 (X = 0, 3, 6, 9).
   • Для Y = 5: Сумма цифр будет 6 + X + 5 = 11 + X. Это число делится на 3, если (11 + X) % 3 = 0. Мы можем проверить значения X:
     • Если X = 0, 11 % 3 = 2 (не делится)
     • Если X = 1, 12 % 3 = 0 (делится)
     • Если X = 2, 13 % 3 = 1 (не делится)
     • Если X = 3, 14 % 3 = 2 (не делится)
     • Если X = 4, 15 % 3 = 0 (делится)
     • Если X = 5, 16 % 3 = 1 (не делится)
     • Если X = 6, 17 % 3 = 2 (не делится)
     • Если X = 7, 18 % 3 = 0 (делится)
     • Если X = 8, 19 % 3 = 1 (не делится)
     • Если X = 9, 20 % 3 = 2 (не делится)

   Таким образом, для Y = 5, подходящие X: 1, 4, 7.

5. Проверка на делимость на 2 и 9:

   • Числа не должны делиться на 2: так как Y может быть 0 (что не подходит), остаются только Y = 5.
   • С числами 615, 645 и 675 нужно проверить делимость на 9:
     • 615: 6 + 1 + 5 = 12 (не делится на 9)
     • 645: 6 + 4 + 5 = 15 (не делится на 9)
     • 675: 6 + 7 + 5 = 18 (делится на 9, не подходит)

Остались числа:

• 615
• 645

Итак, окончательный ответ: Подходящие числа: 615, 645.