Z=1- корень из 3 i запишите комплексное число в показательной форме?  z=r×e^iq

Для записи комплексного числа в показательной форме, сначала нужно найти модуль и аргумент этого числа.

Z=1-√3i

Модуль комплексного числа Z вычисляется по формуле:

r = √(Re(Z)^2 + Im(Z)^2) = √(1^2 + (-√3)^2) = √(1 + 3) = 2

Аргумент комплексного числа Z вычисляется по формуле:

tan(q) = Im(Z) / Re(Z) = (-√3) / 1 = -√3

q = arctan(-√3) ≈ -60°

Таким образом, комплексное число Z=1-√3i в показательной форме будет выглядеть следующим образом:

Z = 2 * e^(-60°i)

Чтобы записать комплексное число ( Z = 1 - \sqrt{3}i ) в показательной форме, нужно сначала выразить его в форме ( Z = r \cdot e^{i\theta} ), где ( r ) — модуль комплексного числа, а ( \theta ) — его аргумент.

Шаг 1: Найти модуль ( r )

Модуль ( r ) комплексного числа ( Z = x + yi ) определяется как: [ r = \sqrt{x^2 + y^2} ]

Для нашего числа ( Z = 1 - \sqrt{3}i ), ( x = 1 ) и ( y = -\sqrt{3} ). Подставляем эти значения: [ r = \sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2 ]

Шаг 2: Найти аргумент ( \theta )

Аргумент ( \theta ) определяется как угол, который комплексное число образует с положительным направлением действительной оси в комплексной плоскости. Аргумент вычисляется с использованием функции арктангенса: [ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right) ]

Для нашего числа: [ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{-\sqrt{3}}{1}\right) = \tan^{-1}(-\sqrt{3}) ]

Значение ( \tan^{-1}(-\sqrt{3}) ) соответствует углу ( -\frac{\pi}{3} ) радиан или ( -60^\circ ) в стандартной позиции. Однако, поскольку мы обычно выражаем аргумент в положительном диапазоне от ( 0 ) до ( 2\pi ), мы добавим ( 2\pi ) к ( -\frac{\pi}{3} ):

[ \theta = 2\pi - \frac{\pi}{3} = \frac{6\pi}{3} - \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{3} ]

Таким образом, ( \theta = \frac{5\pi}{3} ) радиан.

Шаг 3: Записать в показательной форме

Теперь, когда у нас есть ( r ) и ( \theta ), мы можем записать комплексное число в показательной форме:

[ Z = r \cdot e^{i\theta} = 2 \cdot e^{i\frac{5\pi}{3}} ]

Таким образом, комплексное число ( Z = 1 - \sqrt{3}i ) в показательной форме записывается как: [ Z = 2 \cdot e^{i\frac{5\pi}{3}} ]

z = 2*e^(5πi/6)