X^2-5x-6 меньше или равно 0

Для решения неравенства ( x^2 - 5x - 6 \leq 0 ) нужно найти все значения ( x ), при которых это неравенство выполняется.

1. Найти корни квадратного уравнения: Сначала решим соответствующее уравнение ( x^2 - 5x - 6 = 0 ).

   Применим формулу для решения квадратного уравнения ( ax^2 + bx + c = 0 ): [ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ] Здесь ( a = 1 ), ( b = -5 ), ( c = -6 ).

   Найдем дискриминант ((\Delta)): [ \Delta = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 25 + 24 = 49 ]

   Поскольку дискриминант положителен, уравнение имеет два действительных корня: [ x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{5 \pm 7}{2} ]

   Таким образом, корни уравнения: [ x_1 = \frac{5 + 7}{2} = 6 ] [ x_2 = \frac{5 - 7}{2} = -1 ]

2. Рассмотреть интервалы: Теперь нужно исследовать функцию ( f(x) = x^2 - 5x - 6 ) на интервалах, определяемых корнями ( x = -1 ) и ( x = 6 ). Эти интервалы: [ (-\infty, -1), \quad (-1, 6), \quad (6, +\infty) ]

3. Определить знак на каждом интервале: Возьмем тестовые точки из каждого интервала и подставим их в выражение ( x^2 - 5x - 6 ).

   • Для интервала ( (-\infty, -1) ): возьмем ( x = -2 ): [ (-2)^2 - 5(-2) - 6 = 4 + 10 - 6 = 8 \quad (\text{положительное}) ]

   • Для интервала ( (-1, 6) ): возьмем ( x = 0 ): [ 0^2 - 5 \cdot 0 - 6 = -6 \quad (\text{отрицательное}) ]

   • Для интервала ( (6, +\infty) ): возьмем ( x = 7 ): [ 7^2 - 5 \cdot 7 - 6 = 49 - 35 - 6 = 8 \quad (\text{положительное}) ]

4. Записать ответ: Функция ( x^2 - 5x - 6 ) отрицательна или равна нулю на интервале ( (-1, 6) ), включая концы интервала, так как в точках ( x = -1 ) и ( x = 6 ) функция равна нулю.

   Таким образом, решение неравенства ( x^2 - 5x - 6 \leq 0 ): [ x \in [-1, 6] ]

Ответ: ( x \in [-1, 6] ).

Для решения данного неравенства x^2 - 5x - 6 ≤ 0 нужно найти корни квадратного уравнения x^2 - 5x - 6 = 0. Для этого можно воспользоваться формулой дискриминанта D = b^2 - 4ac, где a = 1, b = -5, c = -6.

D = (-5)^2 - 41(-6) = 25 + 24 = 49

Так как дискриминант положителен, то уравнение имеет два действительных корня. Найдем их с помощью формулы корней квадратного уравнения x = (-b ± √D) / 2a:

x1 = (5 + √49) / 2 = (5 + 7) / 2 = 6 x2 = (5 - √49) / 2 = (5 - 7) / 2 = -1

Таким образом, корни уравнения x^2 - 5x - 6 = 0 равны x1 = 6 и x2 = -1. Теперь можно построить знаки функции x^2 - 5x - 6 на числовой прямой, используя найденные корни:

---(-1)---(6)---(+∞)---

Теперь определим знак функции в каждом из интервалов:

1) x < -1: Подставим любое число меньше -1, например x = -2: (-2)^2 - 5(-2) - 6 = 4 + 10 - 6 = 8 > 0, значит функция положительна на этом интервале. 2) -1 < x < 6: Подставим любое число между -1 и 6, например x = 0: 0^2 - 50 - 6 = -6 < 0, значит функция отрицательна на этом интервале. 3) x > 6: Подставим любое число больше 6, например x = 7: 7^2 - 5*7 - 6 = 49 - 35 - 6 = 8 > 0, функция положительна на этом интервале.

Таким образом, решением неравенства x^2 - 5x - 6 ≤ 0 является множество всех значений x, принадлежащих интервалу -1 ≤ x ≤ 6.