Высота правильной четырехугольной пирамиды равна 9√3 см, а сторона основания равна 18 см. Чему равен...

Двугранный угол при основании правильной четырехугольной пирамиды равен 60 градусов.

Чтобы найти двугранный угол при основании правильной четырёхугольной пирамиды, нужно рассмотреть треугольник, образованный высотой пирамиды, радиусом описанной окружности основания и апофемой пирамиды.

1. Параметры основания: Основание пирамиды — квадрат со стороной 18 см. Центр основания — это центр квадрата.

2. Радиус описанной окружности: Радиус описанной окружности квадрата равен половине диагонали квадрата. Диагональ квадрата со стороной $a$ вычисляется как $a\sqrt{2}$. Для квадрата со стороной 18 см: $\text{Диагональ}=18\sqrt{2}\text{ см}.$ Тогда радиус описанной окружности: $R=\frac{18\sqrt{2}}{2}=9\sqrt{2}\text{ см}.$

3. Апофема пирамиды: Апофема пирамиды — это высота боковой грани, которая является равнобедренным треугольником. Она соединяет вершину пирамиды с серединой стороны основания.

   Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды, радиусом описанной окружности и апофемой. В этом треугольнике: $h=9\sqrt{3}\text{ см (высота пирамиды)},$ $R=9\sqrt{2}\text{ см (радиус описанной окружности)}.$

   Апофема $l$ будет гипотенузой этого треугольника. По теореме Пифагора: $l^2=h^2+R^2.$ $l^2=(9\sqrt{3}{)}^2+(9\sqrt{2}{)}^2=243+162=405.$ $l=\sqrt{405}=9\sqrt{5}\text{ см}.$

4. Двугранный угол при основании: Двугранный угол определяется углом между апофемой и плоскостью основания. Этот угол можно найти как угол между высотой пирамиды и апофемой.

   Косинус этого угла $\theta$ определяется как отношение высоты пирамиды к апофеме: $\cos \theta =\frac{h}{l}=\frac{9\sqrt{3}}{9\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}}.$

   Таким образом, двугранный угол $\theta$ при основании пирамиды: $\theta =\arccos \left(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}}\right).$

Это и есть искомый угол.

Для нахождения двугранного угла при основании правильной четырехугольной пирамиды, нам необходимо воспользоваться формулой для нахождения угла между боковой гранью и основанием. Этот угол можно найти, используя теорему косинусов.

Пусть двугранный угол при основании равен α. Тогда мы можем записать косинус этого угла, как отношение катета к гипотенузе прямоугольного треугольника, образованного высотой пирамиды, радиусом вписанной окружности и половиной стороны основания:

cos$\alpha$ = $0.5\ast 18$ / 9√3.

Так как cos$30°$ = √3 / 2, можно заметить, что α = 30°.

Итак, двугранный угол при основании правильной четырехугольной пирамиды равен 30°.