Вычислите площадь фигуры, ограниченную линиями y=x^2, y=2x

Для нахождения площади фигуры, ограниченной линиями ( y = x^2 ) и ( y = 2x ), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найдем точки пересечения данных кривых. Решим уравнение ( x^2 = 2x ). [ x^2 - 2x = 0 \implies x(x - 2) = 0 ] Отсюда ( x = 0 ) или ( x = 2 ). Это значит, что кривые пересекаются в точках ( (0,0) ) и ( (2, 4) ).

2. Определим, какая из кривых находится выше в интервале от 0 до 2. Подставим промежуточное значение ( x = 1 ) в оба уравнения:

   • ( y = x^2 = 1^2 = 1 );
   • ( y = 2x = 2 \cdot 1 = 2 ).

   Заметим, что на интервале от 0 до 2 линия ( y = 2x ) находится выше линии ( y = x^2 ).

3. Вычислим площадь между кривыми. Площадь между графиками находится путем интегрирования разности функций (верхняя функция минус нижняя) по интервалу от 0 до 2: [ S = \int_0^2 (2x - x^2) \, dx ] Раскроем интеграл: [ S = \int_0^2 (2x - x^2) \, dx = \left[ x^2 - \frac{x^3}{3} \right]_0^2 = \left[ 2^2 - \frac{2^3}{3} \right] - \left[ 0^2 - \frac{0^3}{3} \right] ] [ = \left[ 4 - \frac{8}{3} \right] - [0] = 4 - \frac{8}{3} = \frac{12}{3} - \frac{8}{3} = \frac{4}{3} ]

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями ( y = x^2 ) и ( y = 2x ), равна ( \frac{4}{3} ) квадратных единиц.

Площадь фигуры, ограниченной линиями y=x^2 и y=2x равна 2/3.

Для того чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y=x^2 и y=2x, необходимо найти точки их пересечения. Подставляя y=x^2 и y=2x друг в друга, получаем уравнение x^2 = 2x. Решив это уравнение, найдем точки пересечения: x=0 и x=2.

Площадь фигуры можно найти как разность интегралов функций y=2x и y=x^2 на интервале [0, 2]. Поэтому S = ∫(2x - x^2) dx от 0 до 2. После интегрирования получаем S = x^2 - (x^3)/3. Подставляя пределы интегрирования, получаем S = 2^2 - (2^3)/3 - 0 = 4 - 8/3 = 4/3.

Итак, площадь фигуры, ограниченной линиями y=x^2 и y=2x, равна 4/3 квадратных единиц.