вычислите площадь фигуры ,ограниченной линиями:y=2-x^2,y=0,x=-1,x=0
вычислите площадь фигуры ,ограниченной линиями:y=2-x^2,y=0,x=-1,x=0
Для нахождения площади фигуры, ограниченной заданными линиями, необходимо рассмотреть область на плоскости, которую они формируют. Линии, заданные уравнениями, это:
Фигура, ограниченная этими линиями, находится в левой полуплоскости от оси y (от ( x = -1 ) до ( x = 0 )) и между параболой и осью x.
Чтобы найти площадь этой фигуры, нужно вычислить определенный интеграл от функции ( y = 2 - x^2 ) на интервале от (-1) до (0), так как это даст площадь под кривой и над осью x в указанных пределах.
Интеграл вычисляется следующим образом:
[ \int_{-1}^{0} (2 - x^2) \, dx ]
Разложим интегрирование на два слагаемых:
[ \int{-1}^{0} 2 \, dx - \int{-1}^{0} x^2 \, dx ]
Первый интеграл дает:
[ \int{-1}^{0} 2 \, dx = 2x \bigg|{-1}^{0} = 2 \cdot 0 - 2 \cdot (-1) = 2 ]
Второй интеграл:
[ \int{-1}^{0} x^2 \, dx = \frac{x^3}{3} \bigg|{-1}^{0} = \frac{0^3}{3} - \frac{(-1)^3}{3} = 0 + \frac{1}{3} = \frac{1}{3} ]
Объединяя результаты, получаем:
[ 2 - \frac{1}{3} = \frac{6}{3} - \frac{1}{3} = \frac{5}{3} ]
Таким образом, площадь данной фигуры составляет (\frac{5}{3}) квадратных единиц.
Площадь фигуры, ограниченной этими линиями, равна 2/3.
Для вычисления площади фигуры, ограниченной линиями y = 2 - x^2, y = 0, x = -1, x = 0, необходимо найти точки пересечения кривых y = 2 - x^2 и y = 0.
Подставим y = 0 в уравнение y = 2 - x^2: 0 = 2 - x^2 x^2 = 2 x = ±√2
Теперь найдем площадь фигуры, ограниченной кривыми y = 2 - x^2 и y = 0 при x = -√2 и x = √2. Для этого проинтегрируем функцию y = 2 - x^2 от x = -√2 до x = √2:
∫[√2, -√2] (2 - x^2) dx = [2x - (x^3)/3] |[√2, -√2] = 2√2 - (2^3)/3 - (-2√2 - (-2^3)/3) = 2√2 - 8/3 + 2√2 - 8/3 = 4√2 - 16/3 + 4/3 = 4√2 - 12/3 = 4√2 - 4
Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями y = 2 - x^2, y = 0, x = -1, x = 0, равна 4√2 - 4 (единицы площади).
