Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями y=x^2, y=2-x^2

Для того чтобы найти площадь фигуры, ограниченной линиями y=x^2 и y=2-x^2, необходимо найти точки их пересечения. Для этого приравняем уравнения к друг другу:

x^2 = 2 - x^2 2x^2 = 2 x^2 = 1 x = ±1

Таким образом, точки пересечения линий y=x^2 и y=2-x^2 равны (-1, 1) и (1, 1).

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной этими линиями, необходимо рассчитать интеграл от функции, задающей верхнюю границу (2 - x^2) до функции, задающей нижнюю границу (x^2) на интервале [-1, 1]:

S = ∫[a,b] (верхняя граница - нижняя граница) dx S = ∫[-1,1] ((2 - x^2) - x^2) dx S = ∫[-1,1] (2 - 2x^2) dx S = [2x - (2/3)x^3] |[-1,1] S = [21 - (2/3)1^3] - [2(-1) - (2/3)(-1)^3] S = [2 - 2/3] - [-2 + 2/3] S = 2 - 2/3 + 2 - 2/3 S = 4 - 4/3 S = 8/3

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями y=x^2 и y=2-x^2, равна 8/3 или примерно 2.67.

Для вычисления площади фигуры, ограниченной линиями ( y = x^2 ) и ( y = 2 - x^2 ), сначала необходимо определить точки пересечения этих кривых.

1. Найдем точки пересечения: Для этого приравняем уравнения: [ x^2 = 2 - x^2 ] Решим это уравнение: [ x^2 + x^2 = 2 \ 2x^2 = 2 \ x^2 = 1 \ x = \pm 1 ] Таким образом, точки пересечения кривых находятся в ( x = 1 ) и ( x = -1 ).

2. Определим функцию, подлежащую интегрированию: Площадь между двумя кривыми можно найти, интегрируя разность их уравнений в пределах от (-1) до (1): [ \text{Area} = \int{-1}^{1} \left( (2 - x^2) - x^2 \right) \, dx ] Упростим выражение под интегралом: [ \text{Area} = \int{-1}^{1} (2 - 2x^2) \, dx ]

3. Вычислим интеграл: [ \int{-1}^{1} (2 - 2x^2) \, dx = \int{-1}^{1} 2 \, dx - \int{-1}^{1} 2x^2 \, dx ] Разделим интеграл на два отдельных: [ \int{-1}^{1} 2 \, dx = 2 \int{-1}^{1} 1 \, dx = 2 \left[ x \right]{-1}^{1} = 2 \left( 1 - (-1) \right) = 2 \cdot 2 = 4 ] [ \int{-1}^{1} 2x^2 \, dx = 2 \int{-1}^{1} x^2 \, dx = 2 \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{-1}^{1} = 2 \left( \frac{1^3}{3} - \frac{(-1)^3}{3} \right) = 2 \left( \frac{1}{3} - \left(-\frac{1}{3}\right) \right) = 2 \left( \frac{1}{3} + \frac{1}{3} \right) = 2 \cdot \frac{2}{3} = \frac{4}{3} ]

4. Найдем площадь: [ \text{Area} = 4 - \frac{4}{3} = \frac{12}{3} - \frac{4}{3} = \frac{8}{3} ]

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями ( y = x^2 ) и ( y = 2 - x^2 ), равна ( \frac{8}{3} ).