Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: а) y=2x^2, y=0, x=2 . б) y=2x^2, y=2, x=2

Для того чтобы найти площадь фигуры, ограниченной заданными линиями, можно воспользоваться определённым интегралом. Рассмотрим каждый случай отдельно.

а) Фигура ограничена линиями y = 2x^2, y = 0 и x = 2.

1. Построение фигуры:

   • y = 2x^2 — это парабола, ветви которой направлены вверх, начинающаяся в точке (0,0).
   • y = 0 — это ось x.
   • x = 2 — это вертикальная прямая, пересекающая ось x в точке (2,0).

2. Площадь данной фигуры можно найти, вычислив интеграл от функции y = 2x^2 от x = 0 до x = 2.

   [ \int_0^2 2x^2 \, dx = 2 \int_0^2 x^2 \, dx = 2 \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^2 = 2 \left[ \frac{2^3}{3} - \frac{0^3}{3} \right] = 2 \left[ \frac{8}{3} \right] = \frac{16}{3} ]

   Таким образом, площадь фигуры составляет (\frac{16}{3}) квадратных единиц.

б) Фигура ограничена линиями y = 2x^2, y = 2 и x = 2.

1. Построение фигуры:

   • y = 2x^2 — парабола, как и в предыдущем случае.
   • y = 2 — горизонтальная прямая, пересекающаяся с параболой в точках, где 2x^2 = 2, то есть x = ±1. Но поскольку x = 2 также является границей, нам нужен только участок параболы до x = 2.
   • x = 2 — вертикальная прямая.

2. Площадь данной фигуры можно найти, вычислив разность площадей под прямой y = 2 и над кривой y = 2x^2 от x = 0 до x = 2.

   [ \int_0^2 (2 - 2x^2) \, dx = \int_0^2 2 \, dx - \int_0^2 2x^2 \, dx = 2 \left[ x \right]_0^2 - \frac{16}{3} = 2[2 - 0] - \frac{16}{3} = 4 - \frac{16}{3} = \frac{12}{3} - \frac{16}{3} = -\frac{4}{3} ]

   Однако, поскольку мы вычисляем площадь, нам нужно взять абсолютное значение этой разности, то есть площадь равна (\frac{4}{3}) квадратных единиц.

Итак, ответы: а) Площадь фигуры составляет (\frac{16}{3}) квадратных единиц. б) Площадь фигуры составляет (\frac{4}{3}) квадратных единиц.

а) Для нахождения площади фигуры, ограниченной линиями y=2x^2, y=0, x=2, нужно найти точки пересечения этих линий. Подставляя y=0 в уравнение y=2x^2, получаем 0=2x^2, откуда x=0. Таким образом, точки пересечения линий находятся при x=0 и x=2. Площадь фигуры можно найти, интегрируя функцию y=2x^2 между x=0 и x=2: ∫(2x^2)dx от 0 до 2. Решив интеграл, получим площадь фигуры.

б) Для нахождения площади фигуры, ограниченной линиями y=2x^2, y=2, x=2, нужно также найти точки пересечения. Подставляя y=2 в уравнение y=2x^2, получаем 2=2x^2, откуда x=±1. Таким образом, точки пересечения линий находятся при x=-1 и x=1. Площадь фигуры можно найти, интегрируя функцию y=2x^2 между x=-1 и x=1: ∫(2x^2)dx от -1 до 1. Решив интеграл, получим площадь фигуры.

а) Площадь фигуры, ограниченной линиями y=2x^2, y=0, x=2 равна 8/3. б) Площадь фигуры, ограниченной линиями y=2x^2, y=2, x=2 равна 4/3.