Вычислить ПОЖАЛУЙСТА интеграл x^3 (1+5x) dx=

Чтобы вычислить определённый интеграл (\int x^3 (1+5x) \, dx), сначала нужно упростить выражение под интегралом. Раскроем скобки:

[ x^3 (1 + 5x) = x^3 + 5x^4 ]

Теперь задача сводится к нахождению неопределённого интеграла от суммы двух слагаемых:

[ \int (x^3 + 5x^4) \, dx ]

Интеграл от суммы равен сумме интегралов:

[ \int x^3 \, dx + \int 5x^4 \, dx ]

Рассмотрим каждый из этих интегралов отдельно.

1. Вычислим (\int x^3 \, dx):

По формуле интегрирования степенной функции (\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C), где (C) — произвольная постоянная интегрирования, получаем:

[ \int x^3 \, dx = \frac{x^{3+1}}{3+1} = \frac{x^4}{4} ]

1. Вычислим (\int 5x^4 \, dx):

Здесь можно вынести постоянный множитель 5 за знак интеграла:

[ \int 5x^4 \, dx = 5 \int x^4 \, dx ]

Снова применяем формулу для степенной функции:

[ 5 \int x^4 \, dx = 5 \cdot \frac{x^{4+1}}{4+1} = 5 \cdot \frac{x^5}{5} = x^5 ]

Теперь складываем результаты обоих интегралов:

[ \frac{x^4}{4} + x^5 + C ]

Таким образом, неопределённый интеграл (\int x^3 (1+5x) \, dx) равен:

[ \frac{x^4}{4} + x^5 + C ]

где (C) — произвольная постоянная интегрирования.

Для вычисления данного интеграла необходимо использовать метод интегрирования по частям. Формула интегрирования по частям имеет вид ∫udv = uv - ∫vdu, где u и v - это функции переменной x, а du и dv их дифференциалы.

Для данного интеграла возьмем u = x^3 и dv = (1 + 5x) dx. Тогда du = 3x^2 dx и v = x + 5/2*x^2.

Подставляя значения u, v, du, dv в формулу интегрирования по частям, получаем: ∫x^3(1 + 5x) dx = x^3(x + 5/2x^2) - ∫(x + 5/2x^2)3x^2 dx.

Упрощая данное выражение, получаем: ∫x^3(1 + 5x) dx = x^4 + 5/2x^5 - 3/2∫x^4 dx.

Интегрируем оставшуюся часть интеграла: ∫x^4 dx = 1/5*x^5 + C.

Таким образом, окончательный ответ на вопрос о вычислении интеграла x^3(1 + 5x) dx равен: x^4 + 5/2x^5 - 3/10x^5 + C = x^4 + 5/2x^5 - 3/10x^5 + C.

Интеграл x^3 (1+5x) dx = x^4/4 + 5x^5/5 + C = x^4/4 + x^5 + C