Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной заданными кривыми y=5-x^2 , y=x+3 . Сделать чертеж
Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной заданными кривыми y=5-x^2 , y=x+3 . Сделать чертеж
Для нахождения площади фигуры, ограниченной кривыми ( y = 5 - x^2 ) и ( y = x + 3 ), необходимо следовать следующим этапам:
Сначала разберем, как выглядят заданные кривые:
( y = 5 - x^2 ) — это парабола, ветви которой направлены вниз, потому что коэффициент перед ( x^2 ) отрицательный. Вершина параболы находится в точке ( (0, 5) ), так как ( y = 5 ), когда ( x = 0 ).
( y = x + 3 ) — это прямая линия с угловым коэффициентом ( 1 ) и пересечением с осью ( y ) в точке ( (0, 3) ). Линия поднимается под углом ( 45^\circ ).
Теперь построим чертеж:
Для нахождения точек пересечения двух кривых решим уравнение:
[ 5 - x^2 = x + 3 ]
Переносим все в одну часть:
[ 5 - 3 - x - x^2 = 0 ]
[ -x^2 - x + 2 = 0 ]
Домножим на ( -1 ), чтобы избавиться от отрицательных знаков:
[ x^2 + x - 2 = 0 ]
Решаем квадратное уравнение ( x^2 + x - 2 = 0 ) с помощью дискриминанта:
[ D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9 ]
Корни уравнения:
[ x_{1, 2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2} ]
[ x_1 = \frac{-1 + 3}{2} = 1, \quad x_2 = \frac{-1 - 3}{2} = -2 ]
Итак, точки пересечения: ( x = -2 ) и ( x = 1 ). Подставляем их в любое из исходных уравнений, например, ( y = x + 3 ):
Теперь мы знаем, что наша фигура ограничена на отрезке ( x \in [-2, 1] ).
Площадь фигуры между двумя кривыми определяется как интеграл разности верхней и нижней функции на заданном интервале. В данном случае:
Формула для площади:
[ S = \int_{-2}^{1} \left[ (x + 3) - (5 - x^2) \right] \, dx ]
Упростим подынтегральное выражение:
[ (x + 3) - (5 - x^2) = x + 3 - 5 + x^2 = x^2 + x - 2 ]
Таким образом:
[ S = \int_{-2}^{1} \left( x^2 + x - 2 \right) \, dx ]
Разделим интеграл на три части:
[ S = \int{-2}^{1} x^2 \, dx + \int{-2}^{1} x \, dx - \int_{-2}^{1} 2 \, dx ]
Теперь вычисляем каждый из них по отдельности:
(\int{-2}^{1} x^2 \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]{-2}^{1} = \frac{1^3}{3} - \frac{(-2)^3}{3} = \frac{1}{3} - \frac{-8}{3} = \frac{1}{3} + \frac{8}{3} = \frac{9}{3} = 3).
(\int{-2}^{1} x \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} \right]{-2}^{1} = \frac{1^2}{2} - \frac{(-2)^2}{2} = \frac{1}{2} - \frac{4}{2} = \frac{1}{2} - 2 = -\frac{3}{2}).
(\int{-2}^{1} 2 \, dx = \left[ 2x \right]{-2}^{1} = 2 \cdot 1 - 2 \cdot (-2) = 2 + 4 = 6).
Теперь подставляем в формулу для площади:
[ S = 3 + \left(-\frac{3}{2}\right) - 6 = 3 - \frac{3}{2} - 6 = -3 - \frac{3}{2} = -\frac{9}{2} \
Для нахождения площади фигуры, ограниченной кривыми ( y = 5 - x^2 ) и ( y = x + 3 ), сначала найдем точки их пересечения.
Приравняем уравнения: [ 5 - x^2 = x + 3 ] Решим уравнение: [ -x^2 - x + 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 + x - 2 = 0 ] Факторизуем: [ (x - 1)(x + 2) = 0 ] Таким образом, ( x = 1 ) и ( x = -2 ).
Теперь найдем соответствующие значения ( y ):
Теперь можно вычислить площадь фигуры, используя интеграл. Площадь ( S ) равна: [ S = \int{-2}^{1} ((5 - x^2) - (x + 3)) \, dx ] Упростим подынтегральное выражение: [ S = \int{-2}^{1} (2 - x - x^2) \, dx ]
Теперь вычислим интеграл: [ S = \left[ 2x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_{-2}^{1} ]
Подставим пределы:
Теперь найдем разность: [ S = \left( \frac{7}{6} - \left( -\frac{10}{3} \right) \right) = \frac{7}{6} + \frac{20}{6} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2} ]
Таким образом, площадь фигуры равна ( \frac{9}{2} ) или ( 4.5 ).
Для чертежа можно нарисовать графики функций ( y = 5 - x^2 ) и ( y = x + 3 ) и отметить точки пересечения ((-2, 1)) и ((1, 4)). Фигура, ограниченная этими кривыми, будет находиться между этими точками.
Для вычисления площади фигуры, ограниченной кривыми ( y = 5 - x^2 ) и ( y = x + 3 ), начнем с нахождения точек их пересечения. Это поможет определить границы интегрирования.
Найдем точки пересечения:
Уравнения кривых: [ 5 - x^2 = x + 3 ]
Преобразуем уравнение: [ 5 - x - 3 - x^2 = 0 \Rightarrow -x^2 - x + 2 = 0 \Rightarrow x^2 + x - 2 = 0 ]
Решим это уравнение с помощью дискриминанта: [ D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9 ]
Корни уравнения: [ x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - 3}{2} = -2 ] [ x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + 3}{2} = 1 ]
Таким образом, точки пересечения находятся в ( x = -2 ) и ( x = 1 ).
Найдём соответствующие значения ( y ):
Подставим ( x = -2 ) в одно из уравнений (например, ( y = x + 3 )): [ y = -2 + 3 = 1 ]
Подставим ( x = 1 ): [ y = 1 + 3 = 4 ]
Таким образом, точки пересечения: ( (-2, 1) ) и ( (1, 4) ).
Графическое изображение:
Для построения графиков этих функций на одном чертеже, можно воспользоваться графическим редактором или просто нарисовать их вручную:
Мы должны отметить точки пересечения на графике: ( (-2, 1) ) и ( (1, 4) ).
Вычисление площади:
Площадь фигуры, ограниченной этими кривыми, можно найти, вычислив определённый интеграл разности функций на отрезке от ( x = -2 ) до ( x = 1 ): [ A = \int{-2}^{1} ((5 - x^2) - (x + 3)) \, dx ] Упростим выражение под интегралом: [ A = \int{-2}^{1} (5 - x^2 - x - 3) \, dx = \int_{-2}^{1} (-x^2 - x + 2) \, dx ]
Теперь вычислим интеграл: [ A = \left[ -\frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + 2x \right]_{-2}^{1} ]
Сначала подставим верхний предел: [ A(1) = -\frac{1^3}{3} - \frac{1^2}{2} + 2 \cdot 1 = -\frac{1}{3} - \frac{1}{2} + 2 = -\frac{1}{3} - \frac{3}{6} + \frac{12}{6} = -\frac{1}{3} + \frac{9}{6} = -\frac{1}{3} + \frac{3}{2} = \frac{7}{6} ]
Теперь подставим нижний предел: [ A(-2) = -\frac{(-2)^3}{3} - \frac{(-2)^2}{2} + 2 \cdot (-2) = -\left(-\frac{8}{3}\right) - 2 - 4 = \frac{8}{3} - 2 - 4 = \frac{8}{3} - \frac{6}{3} - \frac{12}{3} = \frac{8 - 6 - 12}{3} = \frac{-10}{3} ]
Теперь подставим значения в формулу для площади: [ A = \left(\frac{7}{6} - \left(-\frac{10}{3}\right)\right) = \frac{7}{6} + \frac{10}{3} = \frac{7}{6} + \frac{20}{6} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2} ]
Таким образом, площадь фигуры, ограниченной заданными кривыми, равна ( \frac{9}{2} ).
Ответ: Площадь фигуры равна ( \frac{9}{2} ) квадратных единиц.
