Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: y= -x^2+2x+3 ; y=0 Срочно нужно подробное решение с...

Из уравнения y = -x^2 + 2x + 3 найдем точки пересечения с осью x, подставив y=0:

0 = -x^2 + 2x + 3 x^2 - 2x - 3 = 0 (x - 3)(x + 1) = 0

x = 3 или x = -1

Таким образом, точки пересечения с осью x: x = -1 и x = 3.

Теперь найдем площадь фигуры, ограниченной этими линиями. Для этого возьмем определенный интеграл от -1 до 3:

S = ∫[3, -1] (-x^2 + 2x + 3) dx

S = [(-1/3)x^3 + x^2 + 3x] [3, -1] S = [(-1/3)3^3 + 3^2 + 3*3] - [(-1/3)(-1)^3 + (-1)^2 + 3*(-1)] S = [-9 + 9 + 9] - [1 + 1 - 3] S = 9 - (-1) S = 10

Итак, площадь фигуры, ограниченной линиями y = -x^2 + 2x + 3 и y = 0 равна 10.

Для вычисления площади фигуры, ограниченной кривой ( y = -x^2 + 2x + 3 ) и осью ( x ) (то есть линией ( y = 0 )), нам необходимо найти точки пересечения этих линий и интегрировать функцию ( y = -x^2 + 2x + 3 ) по соответствующему промежутку.

Шаг 1. Найдите точки пересечения кривой с осью ( x ):

Для этого решим уравнение ( -x^2 + 2x + 3 = 0 ):

[ -x^2 + 2x + 3 = 0 ]

Перепишем уравнение в стандартной форме для квадратного уравнения:

[ x^2 - 2x - 3 = 0 ]

Используем формулу для решения квадратного уравнения ( ax^2 + bx + c = 0 ):

[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ]

В данном случае ( a = 1 ), ( b = -2 ), ( c = -3 ):

[ x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{2 \pm 4}{2} ]

Получаем два корня:

[ x = \frac{2 + 4}{2} = 3 ] [ x = \frac{2 - 4}{2} = -1 ]

Таким образом, точки пересечения с осью ( x ) находятся в точках ( x = -1 ) и ( x = 3 ).

Шаг 2. Определите интервал интегрирования:

Интервал интегрирования будет от ( x = -1 ) до ( x = 3 ).

Шаг 3. Постройте интеграл для вычисления площади:

Площадь фигуры, ограниченной кривой и осью ( x ), можно найти, интегрируя функцию ( y = -x^2 + 2x + 3 ) на интервале от ( -1 ) до ( 3 ):

[ A = \int_{-1}^{3} (-x^2 + 2x + 3) \, dx ]

Шаг 4. Вычислите интеграл:

Разделим интеграл на сумму трех интегралов:

[ A = \int{-1}^{3} -x^2 \, dx + \int{-1}^{3} 2x \, dx + \int_{-1}^{3} 3 \, dx ]

Вычислим каждый из них отдельно:

1. (\int_{-1}^{3} -x^2 \, dx):

[ \int{-1}^{3} -x^2 \, dx = \left[ -\frac{x^3}{3} \right]{-1}^{3} = -\frac{3^3}{3} - \left( -\frac{(-1)^3}{3} \right) = -9 + \frac{1}{3} = -\frac{27}{3} + \frac{1}{3} = -\frac{26}{3} ]

1. (\int_{-1}^{3} 2x \, dx):

[ \int{-1}^{3} 2x \, dx = \left[ x^2 \right]{-1}^{3} = 3^2 - (-1)^2 = 9 - 1 = 8 ]

1. (\int_{-1}^{3} 3 \, dx):

[ \int{-1}^{3} 3 \, dx = 3x \bigg|{-1}^{3} = 3(3) - 3(-1) = 9 + 3 = 12 ]

Теперь сложим все результаты:

[ A = -\frac{26}{3} + 8 + 12 ]

Приведем все к общему знаменателю:

[ A = -\frac{26}{3} + \frac{24}{3} + \frac{36}{3} = \frac{-26 + 24 + 36}{3} = \frac{34}{3} ]

Таким образом, площадь фигуры:

[ A = \frac{34}{3} ]

Рисунок:

Чтобы нарисовать фигуру, ограниченную кривой ( y = -x^2 + 2x + 3 ) и осью ( x ), нужно отметить точки пересечения на оси ( x ) и построить параболу, которая проходит через эти точки.

 y
 ^
 |
 |          (3,0)
 |           *
 |          / \
 |         /   \
 |        /     \
 |       /       \
 |      /         \
 |     /           \
 |    /             \
 |   /               \
 |  /                 \
 | /                   \
 |-----------------------*-----------------> x
(-1,0)

Фигура ограничена параболой и осью ( x ) между точками ( x = -1 ) и ( x = 3 ).

Для вычисления площади фигуры, ограниченной кривыми y = -x^2 + 2x + 3 и y = 0, необходимо найти точки их пересечения, которые будут являться пределами интегрирования.

Сначала найдем точки пересечения кривых:

• Подставим y = 0 в уравнение y = -x^2 + 2x + 3: 0 = -x^2 + 2x + 3 x^2 - 2x - 3 = 0 (x - 3)(x + 1) = 0 x = 3 или x = -1

Таким образом, точки пересечения кривых будут x = -1 и x = 3.

Теперь построим график функции y = -x^2 + 2x + 3 и области, ограниченной этой кривой и осью x:

[ \begin{array}{|c|c|} \hline x & y \ \hline -2 & 1 \ -1 & 0 \ 0 & 3 \ 1 & 2 \ 2 & -1 \ 3 & -6 \ \hline \end{array} ]

По графику видно, что площадь фигуры будет находиться между кривой y = -x^2 + 2x + 3 и осью x.

Теперь найдем площадь фигуры с помощью определенного интеграла:

[ S = \int_{-1}^{3} (-x^2 + 2x + 3) dx ]

Раскрываем скобки и интегрируем:

[ S = \left[ -\frac{x^3}{3} + x^2 + 3x \right]_{-1}^{3} ]

[ S = \left( -\frac{3^3}{3} + 3^2 + 33 \right) - \left( -\frac{(-1)^3}{3} + (-1)^2 + 3(-1) \right) ]

[ S = (-9 + 9 + 9) - \left( \frac{1}{3} + 1 - 3 \right) ]

[ S = 9 - \frac{1}{3} - 1 + 3 ]

[ S = \frac{25}{3} ]

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной кривыми y = -x^2 + 2x + 3 и y = 0, равна 25/3.