Вычислить площадь фигуры ограниченной линиями y=x² - 6x; y=0

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной кривой (y = x^2 - 6x) и осью (y = 0), нам нужно выполнить несколько шагов.

Шаг 1: Найти точки пересечения

Сначала найдем точки пересечения кривой (y = x^2 - 6x) с осью (y = 0). Для этого приравняем уравнение к нулю:

[ x^2 - 6x = 0 ]

Факторизуем:

[ x(x - 6) = 0 ]

Это дает нам два корня:

[ x = 0 \quad \text{и} \quad x = 6 ]

Таким образом, кривая пересекает ось (x) в точках (x = 0) и (x = 6).

Шаг 2: Найти площадь между кривой и осью (x)

Площадь фигуры, ограниченной кривой и осью (x), может быть найдена с помощью интеграла. Мы будем интегрировать функцию (y = x^2 - 6x) от 0 до 6:

[ S = \int_{0}^{6} (x^2 - 6x) \, dx ]

Шаг 3: Вычислить интеграл

Сначала найдем первообразную для (x^2 - 6x):

[ \int (x^2 - 6x) \, dx = \frac{x^3}{3} - 3x^2 + C ]

Теперь подставим пределы интегрирования:

[ S = \left[ \frac{x^3}{3} - 3x^2 \right]_{0}^{6} ]

Подставляем верхний предел:

[ S(6) = \frac{6^3}{3} - 3 \cdot 6^2 = \frac{216}{3} - 3 \cdot 36 = 72 - 108 = -36 ]

Теперь подставляем нижний предел (он даст 0):

[ S(0) = \frac{0^3}{3} - 3 \cdot 0^2 = 0 ]

Шаг 4: Найти площадь

Теперь находим площадь, которая является модулем полученного значения (площадь не может быть отрицательной):

[ S = S(6) - S(0) = -36 - 0 = -36 ]

Поскольку мы ищем абсолютное значение, то:

[ S = 36 ]

Ответ

Площадь фигуры, ограниченной линиями (y = x^2 - 6x) и (y = 0), равна (36) квадратных единиц.

Чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой (y = x^2 - 6x) и осью (y = 0), сначала найдем точки пересечения кривой с осью (y):

1. Установим уравнение (x^2 - 6x = 0): [ x(x - 6) = 0 ] Это уравнение имеет корни (x = 0) и (x = 6).

2. Площадь фигуры равна интегралу от (x = 0) до (x = 6) функции (y = x^2 - 6x): [ S = \int_0^6 (x^2 - 6x) \, dx ]

3. Вычислим интеграл: [ S = \left[ \frac{x^3}{3} - 3x^2 \right]_0^6 = \left( \frac{6^3}{3} - 3 \cdot 6^2 \right) - \left( \frac{0^3}{3} - 3 \cdot 0^2 \right) ] [ = \left( \frac{216}{3} - 108 \right) = 72 - 108 = -36 ]

Поскольку площадь не может быть отрицательной, берем модуль: [ S = 36 ]

Таким образом, площадь фигуры равна (36) квадратных единиц.

Для вычисления площади фигуры, ограниченной кривыми ( y = x^2 - 6x ) и ( y = 0 ), нужно определить границы интегрирования, то есть точки пересечения кривой ( y = x^2 - 6x ) с осью ( y = 0 ), и затем найти определённый интеграл. Ниже приведён пошаговый разбор.

1. Найти точки пересечения ( y = x^2 - 6x ) и ( y = 0 )

Чтобы найти точки пересечения, приравняем ( y = 0 ) в уравнении ( y = x^2 - 6x ): [ x^2 - 6x = 0 ] Вынесем ( x ) за скобки: [ x(x - 6) = 0 ] Приравняем каждую скобку нулю: [ x = 0 \quad \text{или} \quad x = 6 ]

Таким образом, фигура ограничена на промежутке ( x \in [0, 6] ).

2. Определить функцию, задающую ограниченную область

График функции ( y = x^2 - 6x ) представляет собой параболу, ветви которой направлены вверх (так как коэффициент при ( x^2 ) положительный). Линия ( y = 0 ) — это ось абсцисс. Площадь, которую нам нужно найти, расположена между параболой ( y = x^2 - 6x ) и осью ( x ), на промежутке ( x \in [0, 6] ).

3. Вычислить площадь с помощью определённого интеграла

Площадь между кривой ( y = x^2 - 6x ) и осью ( x ) на интервале ( [0, 6] ) найдём как определённый интеграл от функции ( y = x^2 - 6x ), взятый по модулю (поскольку площадь всегда положительна): [ S = \int_{0}^{6} |x^2 - 6x| \, dx ]

Заметим, что на всём интервале ( [0, 6] ) функция ( x^2 - 6x ) отрицательна (парабола расположена ниже оси ( x )), поэтому модуль можно убрать, добавив знак минуса: [ S = -\int_{0}^{6} (x^2 - 6x) \, dx ]

4. Вычислить интеграл

Распишем интеграл: [ \int (x^2 - 6x) \, dx = \int x^2 \, dx - \int 6x \, dx ]

Вычислим каждое слагаемое: [ \int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3}, \quad \int 6x \, dx = 3x^2 ]

Подставим в итоговый интеграл: [ \int (x^2 - 6x) \, dx = \frac{x^3}{3} - 3x^2 ]

Теперь вычислим определённый интеграл на промежутке ( [0, 6] ): [ \int{0}^{6} (x^2 - 6x) \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} - 3x^2 \right]{0}^{6} ]

Подставим верхний и нижний пределы:

1. Для ( x = 6 ): [ \frac{6^3}{3} - 3 \cdot 6^2 = \frac{216}{3} - 3 \cdot 36 = 72 - 108 = -36 ]

2. Для ( x = 0 ): [ \frac{0^3}{3} - 3 \cdot 0^2 = 0 - 0 = 0 ]

Разница: [ \int_{0}^{6} (x^2 - 6x) \, dx = -36 - 0 = -36 ]

С учётом знака минуса перед интегралом: [ S = -(-36) = 36 ]

5. Ответ

Площадь фигуры, ограниченной линиями ( y = x^2 - 6x ) и ( y = 0 ), равна: [ S = 36 ]