Вычислить площадь фигуры ограниченной линиями 2x-x^2, y=x

Чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми ( y = 2x - x^2 ) и ( y = x ), сначала найдем точки их пересечения.

Приравняем уравнения: [ 2x - x^2 = x ] [ -x^2 + x = 0 ] [ x(1 - x) = 0 ]

Таким образом, ( x = 0 ) и ( x = 1 ).

Теперь вычислим площадь между кривыми от ( x = 0 ) до ( x = 1 ): [ \text{Площадь} = \int_0^1 ((2x - x^2) - x) \, dx = \int_0^1 (x - x^2) \, dx ]

Вычислим интеграл: [ \int (x - x^2) \, dx = \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} + C ]

Теперь подставим пределы: [ \left[ \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_0^1 = \left( \frac{1^2}{2} - \frac{1^3}{3} \right) - \left( \frac{0^2}{2} - \frac{0^3}{3} \right) = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{3}{6} - \frac{2}{6} = \frac{1}{6} ]

Таким образом, площадь фигуры равна ( \frac{1}{6} ).

Чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми ( y = 2x - x^2 ) и ( y = x ), сначала найдем точки их пересечения. Для этого приравняем функции:

[ 2x - x^2 = x ]

Перепишем уравнение:

[ 2x - x - x^2 = 0 ]

Упрощаем:

[ -x^2 + x = 0 ]

Вынесем ( x ) за скобки:

[ x(-x + 1) = 0 ]

Таким образом, получаем два решения:

[ x = 0 \quad \text{и} \quad -x + 1 = 0 \Rightarrow x = 1 ]

Теперь мы знаем, что кривые пересекаются в точках ( x = 0 ) и ( x = 1 ).

Следующий шаг — определить, какая из функций выше другой в пределах от 0 до 1. Подставим ( x = 0.5 ):

[ y = 2(0.5) - (0.5)^2 = 1 - 0.25 = 0.75 ] [ y = 0.5 ]

Значит, ( 2x - x^2 > x ) на интервале ( (0, 1) ). Таким образом, верхняя кривая — это ( y = 2x - x^2 ), а нижняя — ( y = x ).

Теперь мы можем найти площадь фигуры между этими двумя кривыми, вычислив интеграл разности:

[ S = \int_{0}^{1} ((2x - x^2) - x) \, dx ]

Упрощаем подынтегральное выражение:

[ S = \int{0}^{1} (2x - x^2 - x) \, dx = \int{0}^{1} (x - x^2) \, dx ]

Теперь вычислим интеграл:

[ S = \int{0}^{1} (x - x^2) \, dx = \int{0}^{1} x \, dx - \int_{0}^{1} x^2 \, dx ]

Вычислим каждый из интегралов:

1. (\int{0}^{1} x \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} \right]{0}^{1} = \frac{1^2}{2} - \frac{0^2}{2} = \frac{1}{2})

2. (\int{0}^{1} x^2 \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]{0}^{1} = \frac{1^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{1}{3})

Теперь подставим результаты обратно в выражение для площади:

[ S = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} ]

Чтобы вычесть дроби, приведем их к общему знаменателю:

[ S = \frac{3}{6} - \frac{2}{6} = \frac{1}{6} ]

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной кривыми ( y = 2x - x^2 ) и ( y = x ), равна

[ \boxed{\frac{1}{6}}. ]

Давайте подробно разберем, как вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми ( y = 2x - x^2 ) и ( y = x ).

1. Область пересечения двух кривых

Фигура, площадь которой нужно найти, ограничена двумя линиями:

1. Параболой ( y = 2x - x^2 );
2. Прямой ( y = x ).

Первым шагом определим точки пересечения этих двух линий, решив уравнение ( 2x - x^2 = x ) (приравниваем правые части двух уравнений).

[ 2x - x^2 = x ] Упростим: [ 2x - x - x^2 = 0 ] [ x - x^2 = 0 ] Вынесем ( x ) за скобки: [ x(1 - x) = 0 ] Отсюда ( x = 0 ) или ( x = 1 ).

Таким образом, линии пересекаются в точках ( x = 0 ) и ( x = 1 ).

2. Формула для вычисления площади

Площадь между двумя кривыми на отрезке ( [a, b] ) вычисляется по формуле: [ S = \int_{a}^{b} \left[ f(x) - g(x) \right] \, dx, ] где ( f(x) ) — верхняя функция, а ( g(x) ) — нижняя функция.

В нашем случае:

• На отрезке ( [0, 1] ) верхней функцией является ( f(x) = 2x - x^2 ) (парабола),
• Нижней функцией является ( g(x) = x ) (прямая).

Подставим всё в формулу: [ S = \int_{0}^{1} \left[ (2x - x^2) - x \right] \, dx. ]

3. Упрощение подинтегрального выражения

Упростим разность ( (2x - x^2) - x ): [ (2x - x^2) - x = 2x - x - x^2 = x - x^2. ]

Таким образом, интеграл становится: [ S = \int_{0}^{1} \left( x - x^2 \right) \, dx. ]

4. Вычисление интеграла

Раскроем этот интеграл: [ S = \int{0}^{1} x \, dx - \int{0}^{1} x^2 \, dx. ]

Вычислим первый интеграл: [ \int x \, dx = \frac{x^2}{2} + C. ] На отрезке ( [0, 1] ): [ \int{0}^{1} x \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} \right]{0}^{1} = \frac{1^2}{2} - \frac{0^2}{2} = \frac{1}{2}. ]

Теперь вычислим второй интеграл: [ \int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3} + C. ] На отрезке ( [0, 1] ): [ \int{0}^{1} x^2 \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]{0}^{1} = \frac{1^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{1}{3}. ]

Теперь подставим результаты в выражение для площади: [ S = \frac{1}{2} - \frac{1}{3}. ]

5. Приведение к общему знаменателю

Приведём дроби к общему знаменателю (6): [ \frac{1}{2} = \frac{3}{6}, \quad \frac{1}{3} = \frac{2}{6}. ] Тогда: [ S = \frac{3}{6} - \frac{2}{6} = \frac{1}{6}. ]

Ответ:

Площадь фигуры, ограниченной кривыми ( y = 2x - x^2 ) и ( y = x ), равна: [ S = \frac{1}{6}. ]