Верны ли утверждения: 1) Через точку, не принадлежащую данной плоскости, проходит единственная плоскость,...

1) Верно. Через точку, не принадлежащую данной плоскости, проходит только одна плоскость, параллельная данной. Это следует из аксиомы параллельности плоскостей.

2) Верно. Если две прямые, лежащие в одной плоскости, параллельны двум прямым, лежащим в другой плоскости, то эти плоскости параллельны. Это также следует из аксиомы параллельности плоскостей.

3) Верно. Существует бесконечно много прямых, параллельных данной плоскости и проходящих через точку, не принадлежащую этой плоскости. Это связано с тем, что через любую точку, не принадлежащую плоскости, можно провести бесконечно много параллельных плоскостей.

4) Неверно. Если одна из двух данных плоскостей параллельна двум пересекающимся прямым, лежащим в другой плоскости, то эти плоскости не обязательно параллельны. Это может быть случай, когда две плоскости пересекаются.

1. Для доказательства того, что две плоскости, параллельные одной и той же третьей плоскости, параллельны между собой, можно воспользоваться аксиомой параллельности плоскостей. Если две плоскости параллельны третьей плоскости, то они также параллельны между собой.

2. Прямые AC и BD могут быть как параллельными, так и пересекающимися, в зависимости от взаимного расположения отрезков AB и CD. Если отрезки AB и CD параллельны друг другу и лежат в параллельных плоскостях, то прямые AC и BD будут параллельными. Если отрезки пересекаются, то прямые AC и BD также будут пересекающимися.

1) Верно. 2) Верно. 3) Верно. 4) Верно.

Доказательство:

1. Пусть плоскости α и β параллельны третьей плоскости γ. Тогда все три плоскости пересекаются параллельными прямыми. Поскольку плоскости α и β параллельны третьей плоскости γ, то угол между плоскостями α и β равен углу между плоскостями α и γ, а также углу между плоскостями β и γ. Таким образом, плоскости α и β параллельны.

2. Прямые AC и BD могут быть как пересекающимися, так и параллельными, в зависимости от расположения точек A, B, C и D.

Рассмотрим каждое утверждение и задачу подробно:

1. Утверждение: Через точку, не принадлежащую данной плоскости, проходит единственная плоскость, параллельная данной.

   Ответ: Это утверждение неверно. Через точку (P), не принадлежащую плоскости (\alpha), можно провести бесконечно много плоскостей, параллельных данной. Для этого достаточно выбрать любую прямую, параллельную (\alpha) и проходящую через (P), и провести через эту прямую и точку (P) плоскость, параллельную (\alpha).

2. Утверждение: Если две прямые, лежащие в одной плоскости, соответственно параллельны двум прямым, лежащим в другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

   Ответ: Это утверждение верно. Если две прямые (a) и (b) в плоскости (\alpha) параллельны соответственно прямым (a') и (b') в плоскости (\beta), то плоскости (\alpha) и (\beta) параллельны. Это следует из теоремы о параллельных плоскостях: если две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

3. Утверждение: Существует бесконечно много прямых, параллельных данной плоскости и проходящих через точку, не принадлежащую этой плоскости.

   Ответ: Это утверждение верно. Через точку (P), не принадлежащую плоскости (\alpha), можно провести бесконечно много прямых, параллельных плоскости (\alpha). Для этого достаточно выбрать любую прямую в плоскости (\alpha) и провести через (P) прямую, параллельную этой прямой. Таких прямых будет бесконечно много.

4. Утверждение: Если одна из двух данных плоскостей параллельна двум пересекающимся прямым, лежащим в другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

   Ответ: Это утверждение верно. Если плоскость (\alpha) параллельна двум пересекающимся прямым (a) и (b), лежащим в плоскости (\beta), то плоскость (\alpha) параллельна плоскости (\beta). Это следует из теоремы о параллельных плоскостях.

5. Докажите, что две плоскости, параллельные одной и той же третьей плоскости, параллельны между собой.

   Доказательство: Пусть (\alpha) и (\beta) — две плоскости, параллельные третьей плоскости (\gamma). Это означает, что (\alpha \parallel \gamma) и (\beta \parallel \gamma).

   Возьмем любую прямую (a) в плоскости (\alpha). Поскольку (\alpha \parallel \gamma), прямая (a) параллельна плоскости (\gamma). Аналогично, возьмем любую прямую (b) в плоскости (\beta). Поскольку (\beta \parallel \gamma), прямая (b) также параллельна плоскости (\gamma).

   Следовательно, прямые (a) и (b) параллельны плоскости (\gamma). Это означает, что прямые (a) и (b) лежат в параллельных плоскостях. Таким образом, плоскости (\alpha) и (\beta) также параллельны.

6. Отрезки AB и CD лежат соответственно в параллельных плоскостях (\alpha) и (\beta) (рис. 2). Как могут располагаться относительно друг друга прямые AC и BD? Могут ли они быть параллельными?

   Ответ: Рассмотрим расположение прямых (AC) и (BD).

   Прямые (AC) и (BD) могут располагаться следующим образом:

   • Пересекаться: Если точки (A), (B), (C), (D) расположены таким образом, что прямые (AC) и (BD) пересекаются в какой-либо точке.
   • Быть скрещивающимися: Это наиболее общий случай, когда прямые (AC) и (BD) не лежат в одной плоскости и не пересекаются.
   • Быть параллельными: Прямые (AC) и (BD) могут быть параллельными, если они расположены таким образом, что не пересекаются и лежат в параллельных плоскостях.

   Таким образом, прямые (AC) и (BD) могут быть параллельными, если выполнены соответствующие условия.