Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В, расстояние между которыми равно 180 км. Отдохнув, он отправился обратно в А, увеличив скорость на 5 км/ч. По пути он сделал остановку на 3 часа, в результате чего затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость велосипедиста на пути из А в В.
Пусть скорость велосипедиста на пути из города А в город В равна V км/ч. Тогда время, которое он затратил на этот путь, равно 180/V часов.
После отдыха он увеличил скорость на 5 км/ч, то есть его скорость на обратном пути была V+5 км/ч. Поскольку он сделал остановку на 3 часа, то время, которое он затратил на обратный путь, равно 180/(V+5) + 3 часов.
Условие задачи гласит, что время на обратном пути равно времени на пути из А в В: 180/V = 180/(V+5) + 3
Умножим обе части уравнения на V(V+5), чтобы избавиться от знаменателей: 180(V+5) = 180V + 3V(V+5)
Раскроем скобки: 180V + 900 = 180V + 3V^2 + 15V 3V^2 + 15V - 900 = 0
Поделим обе части на 3: V^2 + 5V - 300 = 0
Факторизуем квадратное уравнение: (V + 20)(V - 15) = 0
Отсюда получаем два возможных значения скорости: V = -20 (отрицательное значение скорости не имеет физического смысла) и V = 15 км/ч.
Итак, скорость велосипедиста на пути из города А в город В равна 15 км/ч.
Для решения этой задачи введем следующие обозначения: пусть ( v ) (км/ч) - скорость велосипедиста на пути из города А в город В, а ( v + 5 ) (км/ч) - его скорость на обратном пути из В в А.
Время в пути из А в В при скорости ( v ) составит ( \frac{180}{v} ) часов.
Время в пути из В в А при скорости ( v + 5 ) и с учетом остановки на 3 часа будет включать в себя как время движения, так и время остановки. Время движения на обратном пути составит ( \frac{180}{v+5} ) часов. Следовательно, общее время, затраченное на обратный путь, равно ( \frac{180}{v+5} + 3 ) часов.
По условию задачи общее время в пути из А в В и обратно в А одинаково, то есть:
[ \frac{180}{v} = \frac{180}{v+5} + 3 ]
Для упрощения выражения умножим обе части уравнения на ( v(v + 5) ), чтобы избавиться от знаменателей:
[ 180v + 900 = 180v + 3v(v + 5) ]
Раскроем и упростим правую часть:
[ 180v + 900 = 180v + 3v^2 + 15v ]
После вычитания ( 180v ) из обеих частей уравнения получим:
[ 900 = 3v^2 + 15v ]
Приведем уравнение к стандартному виду квадратного уравнения:
[ 3v^2 + 15v - 900 = 0 ]
Разделим все члены уравнения на 3:
[ v^2 + 5v - 300 = 0 ]
Решим это квадратное уравнение через дискриминант:
[ D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-300) = 25 + 1200 = 1225 ]
[ v = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 \pm \sqrt{1225}}{2} = \frac{-5 \pm 35}{2} ]
Отсюда возможны два значения для ( v ):
[ v_1 = \frac{30}{2} = 15 \, (км/ч) ] [ v_2 = \frac{-40}{2} = -20 \, (км/ч) ] (не подходит, так как скорость не может быть отрицательной)
Таким образом, скорость велосипедиста на пути из А в В составляет 15 км/ч.
