Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В, расстояние между которыми равно 180...

Пусть скорость велосипедиста на пути из города А в город В равна V км/ч. Тогда время, которое он затратил на этот путь, равно 180/V часов.

После отдыха он увеличил скорость на 5 км/ч, то есть его скорость на обратном пути была V+5 км/ч. Поскольку он сделал остановку на 3 часа, то время, которое он затратил на обратный путь, равно 180/(V+5) + 3 часов.

Условие задачи гласит, что время на обратном пути равно времени на пути из А в В: 180/V = 180/(V+5) + 3

Умножим обе части уравнения на V(V+5), чтобы избавиться от знаменателей: 180(V+5) = 180V + 3V(V+5)

Раскроем скобки: 180V + 900 = 180V + 3V^2 + 15V 3V^2 + 15V - 900 = 0

Поделим обе части на 3: V^2 + 5V - 300 = 0

Факторизуем квадратное уравнение: (V + 20)(V - 15) = 0

Отсюда получаем два возможных значения скорости: V = -20 (отрицательное значение скорости не имеет физического смысла) и V = 15 км/ч.

Итак, скорость велосипедиста на пути из города А в город В равна 15 км/ч.

Для решения этой задачи введем следующие обозначения: пусть ( v ) (км/ч) - скорость велосипедиста на пути из города А в город В, а ( v + 5 ) (км/ч) - его скорость на обратном пути из В в А.

1. Время в пути из А в В при скорости ( v ) составит ( \frac{180}{v} ) часов.

2. Время в пути из В в А при скорости ( v + 5 ) и с учетом остановки на 3 часа будет включать в себя как время движения, так и время остановки. Время движения на обратном пути составит ( \frac{180}{v+5} ) часов. Следовательно, общее время, затраченное на обратный путь, равно ( \frac{180}{v+5} + 3 ) часов.

По условию задачи общее время в пути из А в В и обратно в А одинаково, то есть:

[ \frac{180}{v} = \frac{180}{v+5} + 3 ]

Для упрощения выражения умножим обе части уравнения на ( v(v + 5) ), чтобы избавиться от знаменателей:

[ 180v + 900 = 180v + 3v(v + 5) ]

Раскроем и упростим правую часть:

[ 180v + 900 = 180v + 3v^2 + 15v ]

После вычитания ( 180v ) из обеих частей уравнения получим:

[ 900 = 3v^2 + 15v ]

Приведем уравнение к стандартному виду квадратного уравнения:

[ 3v^2 + 15v - 900 = 0 ]

Разделим все члены уравнения на 3:

[ v^2 + 5v - 300 = 0 ]

Решим это квадратное уравнение через дискриминант:

[ D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-300) = 25 + 1200 = 1225 ]

[ v = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 \pm \sqrt{1225}}{2} = \frac{-5 \pm 35}{2} ]

Отсюда возможны два значения для ( v ):

[ v_1 = \frac{30}{2} = 15 \, (км/ч) ] [ v_2 = \frac{-40}{2} = -20 \, (км/ч) ] (не подходит, так как скорость не может быть отрицательной)

Таким образом, скорость велосипедиста на пути из А в В составляет 15 км/ч.