Векторы a,b образуют угол фи=пи/6; зная, что |a|=корень из 3, |b|=1, вычислить угол альфа между векторами...

Угол альфа между векторами p и q равен 30 градусам.

Для вычисления угла между векторами p и q воспользуемся формулой для косинуса угла между векторами: cos(α) = (p • q) / (|p| * |q|)

Где p • q - скалярное произведение векторов p и q, |p| и |q| - длины этих векторов.

Длины векторов p и q можно найти следующим образом: |p| = |a + b| = |p| = sqrt((a + b) • (a + b)) |p| = sqrt(a • a + 2 a • b + b • b) |p| = sqrt(|a|^2 + 2 |a| |b| cos(φ) + |b|^2) |p| = sqrt(3 + 2 sqrt(3) 1 cos(π/6) + 1) |p| = sqrt(3 + 2 sqrt(3) 1 sqrt(3)/2 + 1) |p| = sqrt(3 + 2 * 1 + 1) |p| = sqrt(6)

Аналогично найдем длину вектора q: |q| = |a - b| |q| = sqrt(3 + 1 - 2 sqrt(3) 1 cos(π/6)) |q| = sqrt(3 + 1 - 2 sqrt(3) 1 sqrt(3)/2) |q| = sqrt(4 - 3) |q| = sqrt(1) |q| = 1

Теперь найдем скалярное произведение векторов p и q: p • q = (a + b) • (a - b) p • q = a • a - a • b + b • a - b • b p • q = |a|^2 - |b|^2 p • q = 3 - 1 p • q = 2

Подставляем найденные значения в формулу для косинуса угла между векторами: cos(α) = (p • q) / (|p| |q|) cos(α) = 2 / (sqrt(6) 1) cos(α) = 2 / sqrt(6)

Отсюда находим угол α: α = arccos(2 / sqrt(6)) ≈ 0.955 радиан или примерно 54.74 градуса.

Итак, угол α между векторами p и q составляет примерно 54.74 градуса.

Для решения задачи воспользуемся свойствами скалярного произведения векторов и косинуса угла между ними.

1. Вычислим скалярное произведение векторов ( p ) и ( q ): [ p \cdot q = (a + b) \cdot (a - b) = a \cdot a - a \cdot b + b \cdot a - b \cdot b ] Так как скалярное произведение вектора на себя равно квадрату его модуля, а ( a \cdot b = b \cdot a ), получаем: [ p \cdot q = |a|^2 - |b|^2 + a \cdot b - a \cdot b = |a|^2 - |b|^2 ] Подставляя значения модулей векторов ( |a| = \sqrt{3} ) и ( |b| = 1 ), получим: [ p \cdot q = (\sqrt{3})^2 - 1^2 = 3 - 1 = 2 ]

2. Найдем модули векторов ( p ) и ( q ): [ |p| = |a + b| = \sqrt{|a|^2 + |b|^2 + 2a \cdot b} ] [ |q| = |a - b| = \sqrt{|a|^2 + |b|^2 - 2a \cdot b} ] С использованием ( a \cdot b = |a||b|\cos(\phi) = \sqrt{3} \cdot 1 \cdot \cos(\pi/6) = \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3}{2} ), получаем: [ |p| = \sqrt{3 + 1 + 2 \cdot \frac{3}{2}} = \sqrt{7} ] [ |q| = \sqrt{3 + 1 - 2 \cdot \frac{3}{2}} = \sqrt{1} ]

3. Теперь можем вычислить косинус угла ( \alpha ) между векторами ( p ) и ( q ): [ \cos(\alpha) = \frac{p \cdot q}{|p||q|} = \frac{2}{\sqrt{7} \cdot 1} = \frac{2}{\sqrt{7}} ] Мы можем найти ( \alpha ) через арккосинус: [ \alpha = \cos^{-1}\left(\frac{2}{\sqrt{7}}\right) ]

Таким образом, угол ( \alpha ) между векторами ( p ) и ( q ) можно найти через арккосинус выражения ( \frac{2}{\sqrt{7}} ). Этот угол будет ответом на задачу.