Ваня задумал натуральное число, умножил его на 13, зачеркнул последнюю цифру результата, полученное...

Ваня задумал число 3.

Пусть задуманное число Вани - это а.

Тогда по условию задачи:

1. 13а - последняя цифра = 10b + c
2. 7(10b + c) - последняя цифра = 20 + 1 = 21

Учитывая, что последняя цифра числа равна остатку от деления на 10, получаем систему уравнений:

1. 3a = 10b + c
2. 7(10b + c) ≡ 1 (mod 10)

Решая эту систему уравнений, получим a = 3, b = 1, c = 9.

Итак, Ваня задумал число 319.

Рассмотрим задачу шаг за шагом.

1. Пусть ( x ) — это натуральное число, которое задумал Ваня.
2. Ваня умножил это число на 13, получив ( 13x ).
3. После этого он зачеркнул последнюю цифру результата, что эквивалентно делению на 10 и взятию целой части, то есть получил ( \left\lfloor \frac{13x}{10} \right\rfloor ).
4. Далее, Ваня умножил полученное число на 7, получив ( 7 \times \left\lfloor \frac{13x}{10} \right\rfloor ).
5. Затем он снова зачеркнул последнюю цифру результата, что опять эквивалентно делению на 10 и взятию целой части, и получил 21: [ \left\lfloor \frac{7 \times \left\lfloor \frac{13x}{10} \right\rfloor}{10} \right\rfloor = 21 ]

Теперь решим уравнения.

Из последнего уравнения: [ 7 \times \left\lfloor \frac{13x}{10} \right\rfloor = 210 + r, ] где ( 0 \leq r < 10 ), так как при делении на 10 остаток ( r ) — это последняя цифра числа, которая была отброшена.

Отсюда: [ 210 \leq 7 \times \left\lfloor \frac{13x}{10} \right\rfloor < 220. ]

Делим все неравенство на 7: [ 30 \leq \left\lfloor \frac{13x}{10} \right\rfloor < 31.43. ]

Так как ( \left\lfloor \frac{13x}{10} \right\rfloor ) — целое число, оно может быть равно только 30 или 31.

1. Если ( \left\lfloor \frac{13x}{10} \right\rfloor = 30 ), то: [ 30 \leq \frac{13x}{10} < 31 \ 300 \leq 13x < 310. ]

   Разделим все неравенство на 13: [ 23.08 \leq x < 23.85. ]

   Поскольку ( x ) — натуральное число, ( x = 23 ).

2. Проверим ( x = 23 ): [ 13 \times 23 = 299. ] Удаляем последнюю цифру: ( 29 ). Умножаем на 7: ( 29 \times 7 = 203 ). Удаляем последнюю цифру: ( 20 ).

Значит, ( x = 23 ) не подходит, так как результат не равен 21.

Теперь проверим второй вариант:

1. Если ( \left\lfloor \frac{13x}{10} \right\rfloor = 31 ), то: [ 31 \leq \frac{13x}{10} < 32 \ 310 \leq 13x < 320. ]

   Разделим все неравенство на 13: [ 23.85 \leq x < 24.62. ]

   Поскольку ( x ) — натуральное число, ( x = 24 ).

2. Проверим ( x = 24 ): [ 13 \times 24 = 312. ] Удаляем последнюю цифру: ( 31 ). Умножаем на 7: ( 31 \times 7 = 217 ). Удаляем последнюю цифру: ( 21 ).

Таким образом, ( x = 24 ) подходит, и Ваня задумал число 24.