В треугольнике АВС медиана АМ продолжена за точку М до точки D на расстояние,равное АМ ,так что АМ =МD.Докажите,что...

Для доказательства того, что четырехугольник ABCD является параллелограммом, нам нужно показать, что противоположные стороны параллельны и равны.

Поскольку AM = MD, то треугольник AMD является равнобедренным, а значит, угол AMB равен углу AMD (по свойству равнобедренного треугольника). Также, поскольку AM является медианой треугольника ABC, то она делит сторону BC пополам, что означает, что BM = MC.

Теперь, поскольку угол AMB равен углу AMD, а BM = MC, то у нас есть две пары противоположных сторон, которые равны и углы между ними равны, что означает, что четырехугольник ABCD является параллелограммом.

Таким образом, мы доказали, что ABCD является параллелограммом.

Для доказательства того, что четырёхугольник (ABCD) является параллелограммом, воспользуемся свойствами медианы и некоторыми теоремами геометрии.

1. Определение медианы: В треугольнике медиана — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне, которая делит эту сторону пополам. Пусть (AM) медиана треугольника (ABC), тогда точка (M) делит сторону (BC) пополам, то есть (BM = MC).

2. Продолжим медиану: По условию задачи, медиана (AM) продолжена за точку (M) до точки (D) на расстояние, равное (AM), то есть (AM = MD).

Теперь докажем, что четырёхугольник (ABCD) является параллелограммом.

1. Рассмотрим треугольники (AMB) и (CMD):

   • Из условия (AM = MD).
   • (M) — середина (BC), значит (BM = MC).
   • У них общая сторона (AM).

   Следовательно, по первому признаку равенства треугольников ((2) стороны и угол между ними равны), треугольники (AMB) и (CMD) равны: [ \triangle AMB \cong \triangle CMD ]

2. Соответствующие стороны равны:

   • Поскольку треугольники равны, то соответствующие стороны (AB) и (CD) равны: (AB = CD).
   • Также соответствующие стороны (AM) и (MD) равны: (AM = MD).

3. Параллельные стороны:

   • Углы при вершинах (A) и (D) равны, так как они соответствующие углы равных треугольников ((\triangle AMB) и (\triangle CMD)).
   • Следовательно, (AB \parallel CD).

4. Проверка другой пары сторон:

   • (BC) — общая сторона для треугольников (AMB) и (CMD).
   • Поскольку (BM = MC) и (BM + MC = BC), то (BC) — это объединение отрезков, которые равны по длине и лежат на одной прямой.
   • Таким образом, (BC \parallel AD) и (BC = AD).

5. Заключение:

   • Мы показали, что (AB = CD) и (AB \parallel CD).
   • Также (BC = AD) и (BC \parallel AD).

Четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно равны и параллельны, является параллелограммом. Таким образом, четырёхугольник (ABCD) — параллелограмм.