В треугольнике АВС медиана АМ продолжена за точку М до точки D на расстояние,равное АМ ,так что АМ =МD.Докажите,что...

Для доказательства того, что четырехугольник ABCD является параллелограммом, нам нужно показать, что противоположные стороны параллельны и равны.

Поскольку AM = MD, то треугольник AMD является равнобедренным, а значит, угол AMB равен углу AMD $посвойствуравнобедренноготреугольника$. Также, поскольку AM является медианой треугольника ABC, то она делит сторону BC пополам, что означает, что BM = MC.

Теперь, поскольку угол AMB равен углу AMD, а BM = MC, то у нас есть две пары противоположных сторон, которые равны и углы между ними равны, что означает, что четырехугольник ABCD является параллелограммом.

Таким образом, мы доказали, что ABCD является параллелограммом.

Для доказательства того, что четырёхугольник $ABCD$ является параллелограммом, воспользуемся свойствами медианы и некоторыми теоремами геометрии.

1. Определение медианы: В треугольнике медиана — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне, которая делит эту сторону пополам. Пусть $AM$ медиана треугольника $ABC$, тогда точка $M$ делит сторону $BC$ пополам, то есть $BM=MC$.

2. Продолжим медиану: По условию задачи, медиана $AM$ продолжена за точку $M$ до точки $D$ на расстояние, равное $AM$, то есть $AM=MD$.

Теперь докажем, что четырёхугольник $ABCD$ является параллелограммом.

1. Рассмотрим треугольники $AMB$ и $CMD$:

   • Из условия $AM=MD$.
   • $M$ — середина $BC$, значит $BM=MC$.
   • У них общая сторона $AM$.

   Следовательно, по первому признаку равенства треугольников $(2$ стороны и угол между ними равны), треугольники $AMB$ и $CMD$ равны: $\mathrm{△}AMB\cong \mathrm{△}CMD$

2. Соответствующие стороны равны:

   • Поскольку треугольники равны, то соответствующие стороны $AB$ и $CD$ равны: $AB=CD$.
   • Также соответствующие стороны $AM$ и $MD$ равны: $AM=MD$.

3. Параллельные стороны:

   • Углы при вершинах $A$ и $D$ равны, так как они соответствующие углы равных треугольников $(\mathrm{△}AMB$ и $\mathrm{△}CMD$).
   • Следовательно, $AB\parallel CD$.

4. Проверка другой пары сторон:

   • $BC$ — общая сторона для треугольников $AMB$ и $CMD$.
   • Поскольку $BM=MC$ и $BM+MC=BC$, то $BC$ — это объединение отрезков, которые равны по длине и лежат на одной прямой.
   • Таким образом, $BC\parallel AD$ и $BC=AD$.

5. Заключение:

   • Мы показали, что $AB=CD$ и $AB\parallel CD$.
   • Также $BC=AD$ и $BC\parallel AD$.

Четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно равны и параллельны, является параллелограммом. Таким образом, четырёхугольник $ABCD$ — параллелограмм.