В треугольнике ABC угол C равен 90, sin A =1/7, AC=4 корня из 3, найти AB

Давайте разберем задачу шаг за шагом.

Дано:

1. Треугольник ( ABC ) прямоугольный (( \angle C = 90^\circ )).
2. ( \sin A = \frac{1}{7} ).
3. Катет ( AC = 4\sqrt{3} ).
4. Найти гипотенузу ( AB ).

Решение:

Шаг 1. Отношения синуса в прямоугольном треугольнике

Определение синуса угла в прямоугольном треугольнике:

[ \sin A = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}}. ]

В данном случае, противолежащий катет для угла ( A ) — это ( BC ), а гипотенуза — это ( AB ). Таким образом, можно записать:

[ \sin A = \frac{BC}{AB}. ]

Подставим известное значение ( \sin A = \frac{1}{7} ):

[ \frac{BC}{AB} = \frac{1}{7}. ]

Отсюда следует:

[ BC = \frac{AB}{7}. ]

Шаг 2. Теорема Пифагора

В прямоугольном треугольнике выполняется теорема Пифагора:

[ AB^2 = AC^2 + BC^2. ]

Подставим известное значение ( AC = 4\sqrt{3} ), значит:

[ AC^2 = (4\sqrt{3})^2 = 16 \cdot 3 = 48. ]

Таким образом, теорема Пифагора принимает вид:

[ AB^2 = 48 + BC^2. ]

Шаг 3. Выражение через ( AB )

Из Шага 1 мы знаем, что ( BC = \frac{AB}{7} ). Подставим это в уравнение теоремы Пифагора:

[ AB^2 = 48 + \left( \frac{AB}{7} \right)^2. ]

Вычислим квадрат ( \left( \frac{AB}{7} \right)^2 ):

[ \left( \frac{AB}{7} \right)^2 = \frac{AB^2}{49}. ]

Подставим это в уравнение. Получаем:

[ AB^2 = 48 + \frac{AB^2}{49}. ]

Шаг 4. Приведение к общему знаменателю

Умножим всё уравнение на 49, чтобы избавиться от дробей:

[ 49 \cdot AB^2 = 48 \cdot 49 + AB^2. ]

Раскроем скобки и упростим:

[ 49AB^2 - AB^2 = 48 \cdot 49. ]

[ 48AB^2 = 48 \cdot 49. ]

Сократим на 48:

[ AB^2 = 49. ]

Шаг 5. Найдём ( AB )

Возьмём квадратный корень из обеих частей:

[ AB = \sqrt{49} = 7. ]

Ответ:

Гипотенуза ( AB ) равна ( 7 ).

В треугольнике ABC, где угол C равен 90 градусов, мы можем использовать тригонометрические функции для нахождения длины стороны AB. Давайте обозначим стороны треугольника:

• AB – гипотенуза,
• AC – противолежащая сторона к углу A,
• BC – прилежащая сторона к углу A.

Дано:

• (\sin A = \frac{1}{7}),
• (AC = 4\sqrt{3}).

Сначала найдем сторону BC. Из определения синуса:

[ \sin A = \frac{\text{противолежащая сторона}}{\text{гипотенуза}} = \frac{AC}{AB}. ]

Подставим известные значения:

[ \frac{1}{7} = \frac{4\sqrt{3}}{AB}. ]

Теперь выразим AB:

[ AB = 4\sqrt{3} \cdot 7 = 28\sqrt{3}. ]

Теперь у нас есть длина гипотенузы AB. Однако, для полноты решения, давайте также найдем длину стороны BC, используя теорему Пифагора. По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике ABC:

[ AB^2 = AC^2 + BC^2. ]

Подставим известные значения:

[ (28\sqrt{3})^2 = (4\sqrt{3})^2 + BC^2. ]

Вычислим:

[ 28^2 \cdot 3 = 16 \cdot 3 + BC^2, ]

[ 2352 = 48 + BC^2, ]

[ BC^2 = 2352 - 48 = 2304. ]

Теперь найдем BC:

[ BC = \sqrt{2304} = 48. ]

Таким образом, мы нашли все стороны треугольника ABC:

• (AB = 28\sqrt{3}),
• (AC = 4\sqrt{3}),
• (BC = 48).

Итак, длина стороны AB в треугольнике ABC равна (28\sqrt{3}).