В треугольнике abc угол c равен 90, cosA=2 корень 6 /5. Найти sinA
В треугольнике abc угол c равен 90, cosA=2 корень 6 /5. Найти sinA
В треугольнике ( \triangle ABC ) угол ( C ) равен ( 90^\circ ), что делает его прямоугольным треугольником. По определению косинуса угла в прямоугольном треугольнике: [ \cos A = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} ]
Дано, что ( \cos A = \frac{2\sqrt{6}}{5} ).
Теперь нам нужно найти ( \sin A ). Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством для прямоугольного треугольника: [ \sin^2 A + \cos^2 A = 1 ]
Подставим известное значение ( \cos A ): [ \sin^2 A + \left(\frac{2\sqrt{6}}{5}\right)^2 = 1 ]
Выполним возведение в квадрат: [ \sin^2 A + \frac{(2\sqrt{6})^2}{5^2} = 1 ] [ \sin^2 A + \frac{4 \cdot 6}{25} = 1 ] [ \sin^2 A + \frac{24}{25} = 1 ]
Для нахождения ( \sin^2 A ) вычтем (\frac{24}{25}) из обеих частей уравнения: [ \sin^2 A = 1 - \frac{24}{25} ] [ \sin^2 A = \frac{25}{25} - \frac{24}{25} ] [ \sin^2 A = \frac{1}{25} ]
Теперь извлечем квадратный корень из обеих частей: [ \sin A = \sqrt{\frac{1}{25}} ] [ \sin A = \frac{1}{5} ]
Таким образом, значение ( \sin A ) равно ( \frac{1}{5} ).
Для решения данной задачи нам необходимо воспользоваться тригонометрическими свойствами прямоугольного треугольника и определить значение sinA.
Известно, что cosA = adjacent / hypotenuse. Поэтому, cosA = 2√6 / 5 = adjacent / hypotenuse.
Так как в прямоугольном треугольнике угол A является противолежащим катетом к углу прямому углу (угол C), то мы можем применить теорему Пифагора, чтобы найти противолежащий катет. Так как угол C равен 90 градусов, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: a^2 + b^2 = c^2.
Подставляем известные значения: (2√6)^2 + b^2 = 5^2, 24 + b^2 = 25, b^2 = 1, b = 1.
Теперь мы можем найти sinA, используя формулу sinA = opposite / hypotenuse. Так как катет b является противолежащим катетом к углу A, sinA = 1 / 5.
Итак, sinA = 1 / 5.
