В трапеции ABCD угол BAD прямой. Окружность, построенная на большем основании AD как на диаметре, пересекает...

а) Для начала заметим, что угол BAC равен углу BDC, так как они соответственные при параллельных прямых AB и CD. Также угол BAD прямой, значит он равен 90 градусов. Таким образом, угол BAC равен углу BDC равен 90 градусам.

Теперь рассмотрим треугольники BAC и BDC. У них два угла равны, значит они подобны. Следовательно, соответствующие стороны пропорциональны: BA/BD = BC/BC, откуда следует, что BA = BC.

Теперь, так как окружность построена на большем основании AD как на диаметре, то угол BAD опирается на диаметр и равен 90 градусов. Таким образом, угол BAM равен углу CAD.

б) Так как BC=4BM, то BM=BC/4. Также из пункта а) мы знаем, что угол BAM равен углу CAD. Теперь можем рассмотреть треугольник ABC и треугольник AMB. Они подобны, так как у них два угла равны из-за того, что угол BAM равен углу CAD и угол ABM равен углу ACD.

Теперь можем найти площадь треугольника AOB. Поскольку треугольники ABC и AMB подобны, отношение площадей треугольников равно квадрату соответствующих сторон: S(AMB)/S(ABC) = (BM/BC)^2.

S(ABC) = 1/2 AB BC = 1/2 6 4BM = 12BM.

Таким образом, S(AMB) = (BM/BC)^2 12BM = (1/4)^2 12BM = 3/4 * BM^2.

Но BM=BC/4, поэтому S(AMB) = 3/4 (BC/4)^2 = 3/4 (BC)^2 / 16 = 3/4 BC^2 / 16 = 3/16 BC^2.

Таким образом, S(AMB) = 3/16 * 16 = 3.

Ответ: площадь треугольника AOB равна 3.

Давайте рассмотрим трапецию ABCD, где ( AB \parallel CD ) и ( \angle BAD = 90^\circ ). Построим окружность на большем основании ( AD ) как на диаметре. Эта окружность пересекает меньшее основание ( BC ) в точках ( C ) и ( M ).

Часть а) Докажите, что угол ( \angle BAM = \angle CAD ).

1. Поскольку окружность построена на ( AD ) как на диаметре, то ( \angle ABD = 90^\circ ) и ( \angle ACD = 90^\circ ) (углы, опирающиеся на диаметр, являются прямыми).
2. Рассмотрим окружность, пересекающую ( BC ) в точках ( C ) и ( M ). Заметим, что точки ( A, B, M, D ) лежат на одной окружности.
3. Величина угла ( \angle BAM ) равна углу ( \angle BDM ) по теореме о вписанном угле (углы, опирающиеся на одну и ту же дугу окружности, равны).
4. Величина угла ( \angle CAD ) равна ( 90^\circ - \angle BAC ), так как ( \angle BAD = 90^\circ ).
5. Величина угла ( \angle BDM ) равна ( 90^\circ - \angle BDC ), так как ( \angle BDC = 90^\circ ).
6. Углы ( \angle BAC ) и ( \angle BDC ) равны, так как они опираются на одну и ту же дугу ( BC ) в окружности.
7. Следовательно, ( \angle BAM = \angle CAD ).

Часть б) Найдите площадь треугольника ( AOB ), если ( AB = 6 ), а ( BC = 4BM ).

1. Пусть ( x = BM ). Тогда ( BC = 4x ).
2. Рассмотрим диагонали ( AC ) и ( BD ), которые пересекаются в точке ( O ). В трапеции диагонали пересекаются в такой точке, что отрезки от точек пересечения до оснований пропорциональны основаниям.
3. То есть, если ( O ) — точка пересечения диагоналей, то отрезок ( AO ) к ( OC ) относится как ( AB ) к ( CD ).
4. Поскольку ( \angle BAD = 90^\circ ) и ( AB = 6 ), то треугольник ( ABD ) прямоугольный.
5. Для нахождения площади треугольника ( AOB ), используем формулу площади треугольника через основание и высоту, проведённую к этому основанию.
6. В прямоугольном треугольнике ( ABD ) высота ( AB ) равна 6, а ( AD ) является гипотенузой.
7. Из условия ( AD ) является диаметром окружности и равно ( AB \sqrt{2} = 6 \sqrt{2} ).
8. Треугольник ( AOB ) имеет одну сторону ( AB = 6 ) и высоту ( h ) из точки ( O ) на ( AB ).
9. Найдём высоту ( h ) треугольника ( AOB ). Поскольку ( AB \parallel DC ), то высота из ( O ) на ( AB ) будет средней линией трапеции ( ABCD ), то есть, высота треугольника ( AOB ) равна ( \frac{B\text{(высота трапеции)}}{2} ).
10. Площадь треугольника ( AOB ) равна ( \frac{1}{2} \times AB \times h ).

Для нахождения точной высоты ( h ), необходимы дополнительные сведения о положении точки ( O ), но основное решение заключается в рассмотрении пропорциональности отрезков и высоты.