В тра­пе­ции ABCD из­вест­но, что AD = 6, BC = 4, а её пло­щадь равна 80. Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции...

Для начала найдем высоту трапеции ABCD. Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту: S = (BC + AD) * h / 2. Подставляем известные значения и находим высоту h = 20 / 5 = 4.

Так как MN является средней линией трапеции, то она параллельна основаниям и равна их полусумме: MN = (BC + AD) / 2 = 5.

Теперь можем найти площадь трапеции BCNM, которая также равна произведению полусуммы оснований на высоту: S' = (BC + MN) h / 2 = (4 + 5) 4 / 2 = 36.

Итак, площадь трапеции BCNM равна 36.

Для начала вспомним, что средняя линия трапеции равна полусумме длин оснований трапеции. В данной задаче основаниями трапеции ABCD являются AD и BC. Таким образом, длина средней линии MN трапеции ABCD равна:

[ MN = \frac{AD + BC}{2} = \frac{6 + 4}{2} = 5. ]

Площадь трапеции можно найти по формуле:

[ S = \frac{1}{2} \cdot (a + b) \cdot h, ]

где (a) и (b) — длины оснований трапеции, а (h) — высота трапеции. Поскольку площадь трапеции ABCD известна и равна 80, мы можем записать:

[ 80 = \frac{1}{2} \cdot (6 + 4) \cdot h = 5h. ]

Отсюда находим высоту (h):

[ h = \frac{80}{5} = 16. ]

Теперь рассмотрим трапецию BCNM. Так как MN — средняя линия исходной трапеции ABCD, она делит трапецию на две меньшие трапеции, каждая из которых подобна ABCD с коэффициентом подобия 1/2 (так как длина средней линии равна полусумме оснований).

Площадь подобной фигуры можно найти, умножив площадь исходной фигуры на квадрат коэффициента подобия. Таким образом, площадь трапеции BCNM будет равна:

[ S{BCNM} = S{ABCD} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2 = 80 \cdot \frac{1}{4} = 20. ]

Следовательно, площадь трапеции BCNM равна 20.