В равнобедренной трапеции основания равны 3 и 5, а один из углов равен 45. Найдите площадь.
В равнобедренной трапеции основания равны 3 и 5, а один из углов равен 45. Найдите площадь.
Для нахождения площади равнобедренной трапеции с основаниями ( a = 3 ) и ( b = 5 ), где один из базовых углов равен ( 45^\circ ), можно воспользоваться следующими шагами:
Определение высоты трапеции:
Рассмотрим равнобедренную трапецию ( ABCD ), где ( AB = 5 ) и ( CD = 3 ), а угол ( \angle DAB = 45^\circ ).
Так как трапеция равнобедренная, ( AD = BC ). Проведем высоту ( h ) из вершины ( C ) на основание ( AB ). Обозначим точку пересечения за ( H ).
В прямоугольном треугольнике ( \triangle AHD ), угол ( \angle DAB = 45^\circ ). Поэтому: [ \tan 45^\circ = 1 = \frac{AH}{h} ] Отсюда ( AH = h ).
Вычисление длины отрезка ( AH ):
Поскольку ( AH = h ), и трапеция равнобедренная, отрезок ( HB ) тоже равен ( h ). Таким образом, ( AB = AH + HB + CD = h + h + 3 ).
Подставим известное значение ( AB = 5 ): [ 5 = 2h + 3 ] Решаем уравнение: [ 2h = 2 \quad \Rightarrow \quad h = 1 ]
Вычисление площади трапеции:
Площадь трапеции вычисляется по формуле: [ S = \frac{1}{2} \times (a + b) \times h ] Подставим известные значения: [ S = \frac{1}{2} \times (3 + 5) \times 1 = \frac{1}{2} \times 8 \times 1 = 4 ]
Таким образом, площадь равнобедренной трапеции равна ( 4 ).
Для нахождения площади равнобедренной трапеции с основаниями 3 и 5 и углом 45 градусов, нам нужно разделить трапецию на два прямоугольных треугольника, прямой угол которых будет находиться в вершине трапеции.
Пусть высота трапеции равна h, тогда мы можем найти длину боковой стороны трапеции по теореме Пифагора: (3^2 + h^2 = (\frac{b - a}{2})^2), где a и b - основания трапеции. Подставив значения, получим: (9 + h^2 = 1), откуда (h = \sqrt{16} = 4).
Теперь можем разделить трапецию на два прямоугольных треугольника и найти их площади: (S_1 = \frac{3 \cdot 4}{2} = 6) и (S_2 = \frac{5 \cdot 4}{2} = 10). Итоговая площадь трапеции будет равна сумме площадей двух треугольников: (S = S_1 + S_2 = 6 + 10 = 16). Таким образом, площадь равнобедренной трапеции равна 16.
