В правильной треугольной призме АВСА1В1С1 стороны оснований равны 1, боковые ребра равны 11. Найдите...

Площадь сечения равна 15.

Для нахождения площади сечения призмы плоскостью, проходящей через середины ребер АВ, АС, А1В1 и А1С1, нам необходимо найти высоту данного сечения.

Поскольку мы имеем дело с правильной треугольной призмой, у которой стороны оснований равны 1, а боковые ребра равны 11, можем заметить, что высота сечения равна половине высоты призмы.

Высота правильной треугольной призмы равна высоте треугольника, который является основанием призмы. Поскольку у нас правильный треугольник, то высота равна $h = \frac{\sqrt{3}}{2}$, где $\sqrt{3}$ - высота равностороннего треугольника со стороной 2.

Таким образом, высота сечения равна $h_{сечения} = \frac{\sqrt{3}}{4}$.

Площадь сечения призмы равна произведению высоты сечения на периметр основания, который равен $3$ для правильного треугольника:

$S_{сечения} = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 3 = \frac{3\sqrt{3}}{4}$.

Итак, площадь сечения призмы равна $\frac{3\sqrt{3}}{4}$.

Чтобы найти площадь сечения правильной треугольной призмы плоскостью, проходящей через середины указанных ребер, сначала нужно понять, как это сечение расположено в призме.

1. Определение точек:

   • Пусть ( M ) и ( N ) — середины ребер ( AB ) и ( AC ) соответственно.
   • Пусть ( M_1 ) и ( N_1 ) — середины ребер ( A_1B_1 ) и ( A_1C_1 ) соответственно.

2. Координаты точек:

   • Примем, что ( A = (0, 0, 0) ), ( B = (1, 0, 0) ), ( C = \left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0\right) ).
   • Тогда середина ( M ) точки ( AB ) будет (\left(\frac{1}{2}, 0, 0\right)), и середина ( N ) точки ( AC ) будет (\left(\frac{1}{4}, \frac{\sqrt{3}}{4}, 0\right)).
   • Верхняя грань призмы параллельна нижней, но поднята на высоту 11. Поэтому ( A_1 = (0, 0, 11) ), ( B_1 = (1, 0, 11) ), ( C_1 = \left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 11\right) ).
   • Середина ( M_1 ) точки ( A_1B_1 ) будет (\left(\frac{1}{2}, 0, 11\right)), и середина ( N_1 ) точки ( A_1C_1 ) будет (\left(\frac{1}{4}, \frac{\sqrt{3}}{4}, 11\right)).

3. Уравнение плоскости:

   • Плоскость проходит через точки ( M ), ( N ), ( M_1 ), и ( N_1 ).
   • Рассмотрим векторы ( \overrightarrow{MN} ) и ( \overrightarrow{MM_1} ):
     • ( \overrightarrow{MN} = \left(-\frac{1}{4}, \frac{\sqrt{3}}{4}, 0\right) ).
     • ( \overrightarrow{MM_1} = (0, 0, 11) ).

4. Нормальный вектор плоскости:

   • Нормальный вектор к плоскости можно найти как векторное произведение векторов ( \overrightarrow{MN} ) и ( \overrightarrow{MM_1} ): [ \overrightarrow{n} = \left|\begin{array}{ccc} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \ -\frac{1}{4} & \frac{\sqrt{3}}{4} & 0 \ 0 & 0 & 11 \end{array}\right| = \left(11 \cdot \frac{\sqrt{3}}{4}, 11 \cdot \frac{1}{4}, 0 \right) = \left(\frac{11\sqrt{3}}{4}, \frac{11}{4}, 0\right) ]

5. Определение формы сечения:

   • Сечение плоскостью, проходящей через середины ребер нижней и верхней граней, представляет собой параллелограмм. Это следует из симметрии задачи.

6. Площадь параллелограмма:

   • Площадь параллелограмма определяется как модуль векторного произведения векторов, задающих его стороны. Векторы ( \overrightarrow{MN} ) и ( \overrightarrow{M_1N_1} ) (где ( \overrightarrow{M_1N_1} = \overrightarrow{MN} )): [ | \overrightarrow{MN} \times \overrightarrow{M_1N_1} | = | \overrightarrow{MN} \times \overrightarrow{MN} | = 11 \times \left|\overrightarrow{MN}\right| = 11 \times \frac{1}{2} = \frac{11}{2} ]

Таким образом, площадь сечения составляет (\frac{11}{2}).