В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известны длины рёбер: AB=4 AD=13 AA1=16. Найдите расстояние...

Для нахождения расстояния между вершинами ( B ) и ( D_1 ) прямоугольного параллелепипеда воспользуемся теоремой о расстоянии между двумя точками в трехмерном пространстве. Расстояние между точками ( B(x_1, y_1, z_1) ) и ( D_1(x_2, y_2, z_2) ) вычисляется по формуле:

[ BD_1 = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}. ]

Итак, начнем с того, чтобы определить координаты точек ( B ) и ( D_1 ) в пространстве. Для этого зафиксируем систему координат.

1. Задание координат вершин параллелепипеда

Выберем точку ( A ) в качестве начала координат: ( A(0, 0, 0) ). Тогда:

• ( AB = 4 ) — это ребро, параллельное оси ( x ), поэтому точка ( B(4, 0, 0) ).
• ( AD = 13 ) — это ребро, параллельное оси ( y ), поэтому точка ( D(0, 13, 0) ).
• ( AA_1 = 16 ) — это ребро, параллельное оси ( z ), поэтому точка ( A_1(0, 0, 16) ).

Теперь воспользуемся тем, что параллелепипед — прямоугольный, и выразим координаты всех остальных его вершин:

• ( B_1(4, 0, 16) ): точка, соответствующая ( B ), поднятая на высоту ( 16 ) вдоль оси ( z ).
• ( D_1(0, 13, 16) ): точка, соответствующая ( D ), поднятая на высоту ( 16 ) вдоль оси ( z ).
• ( C(4, 13, 0) ): точка, лежащая на той же высоте, что и ( A ), но с координатами ( x ) и ( y ), соответствующими ( B ) и ( D ).
• ( C_1(4, 13, 16) ): точка, соответствующая ( C ), поднятая на высоту ( 16 ) вдоль оси ( z ).

Теперь у нас есть координаты всех точек, и мы можем вычислить расстояние между точками ( B(4, 0, 0) ) и ( D_1(0, 13, 16) ).

2. Применение формулы расстояния

Подставим координаты точек ( B(4, 0, 0) ) и ( D_1(0, 13, 16) ) в формулу расстояния:

[ BD_1 = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}. ]

Подставим ( x_1 = 4 ), ( y_1 = 0 ), ( z_1 = 0 ), ( x_2 = 0 ), ( y_2 = 13 ), ( z_2 = 16 ):

[ BD_1 = \sqrt{(0 - 4)^2 + (13 - 0)^2 + (16 - 0)^2}. ]

Выполним вычисления: [ BD_1 = \sqrt{(-4)^2 + 13^2 + 16^2}. ]

[ BD_1 = \sqrt{16 + 169 + 256}. ]

[ BD_1 = \sqrt{441}. ]

[ BD_1 = 21. ]

3. Ответ

Расстояние между точками ( B ) и ( D_1 ) равно ( 21 ).

Для решения задачи найдем координаты вершин прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 исходя из заданных длины рёбер.

1. Определим координаты вершин:

   • Пусть точка A находится в начале координат, т.е. A(0, 0, 0).
   • Вершина B будет на оси x, так как AB = 4. Таким образом, B(4, 0, 0).
   • Вершина D будет на оси y, так как AD = 13. Следовательно, D(0, 13, 0).
   • Вершина A1 будет на оси z, так как AA1 = 16. Таким образом, A1(0, 0, 16).
   • Вершина C1 будет находиться в верхней части параллелепипеда, и её координаты составляют C1(4, 13, 16).
   • Вершина D1 будет находиться прямо над D, т.е. D1(0, 13, 16).
   • Вершина C будет находиться прямо над B, т.е. C(4, 13, 0).
   • Вершина B1 будет находиться прямо над B, т.е. B1(4, 0, 16).

2. Координаты вершин:

   • A(0, 0, 0)
   • B(4, 0, 0)
   • C(4, 13, 0)
   • D(0, 13, 0)
   • A1(0, 0, 16)
   • B1(4, 0, 16)
   • C1(4, 13, 16)
   • D1(0, 13, 16)

3. Найдем расстояние между вершинами B и D1:

   • Координаты B(4, 0, 0) и D1(0, 13, 16).
   • Расстояние между двумя точками в пространстве определяется формулой: [ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2} ]

   Подставим координаты B и D1 в формулу:

   • ( x_1 = 4, y_1 = 0, z_1 = 0 )
   • ( x_2 = 0, y_2 = 13, z_2 = 16 )

   Подставляем в формулу: [ d = \sqrt{(0 - 4)^2 + (13 - 0)^2 + (16 - 0)^2} ] [ d = \sqrt{(-4)^2 + 13^2 + 16^2} ] [ d = \sqrt{16 + 169 + 256} ] [ d = \sqrt{441} ] [ d = 21 ]

Таким образом, расстояние между вершинами B и D1 равно 21.

Чтобы найти расстояние между вершинами B и D1, нужно использовать формулу для расстояния между двумя точками в пространстве. Вершины B и D1 имеют координаты:

• B(4, 0, 0)
• D1(0, 13, 16)

Расстояние ( d ) между этими двумя точками вычисляется по формуле:

[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2} ]

Подставляем координаты:

[ d = \sqrt{(0 - 4)^2 + (13 - 0)^2 + (16 - 0)^2} = \sqrt{(-4)^2 + 13^2 + 16^2} = \sqrt{16 + 169 + 256} = \sqrt{441} = 21 ]

Таким образом, расстояние между вершинами B и D1 равно 21.