В парке расположена клумба прямоугольной формы вокруг которой выложена дорожка постоянной ширины.найти ширину дорожки ,если её внутренний периметр меньше внешнего на 16м.
В парке расположена клумба прямоугольной формы вокруг которой выложена дорожка постоянной ширины.найти ширину дорожки ,если её внутренний периметр меньше внешнего на 16м.
Давайте решим задачу, используя алгебраический подход.
Обозначим длину и ширину клумбы как (a) и (b) соответственно. Пусть ширина дорожки равна (x). Тогда внутренний периметр, который является периметром клумбы, равен (P_{\text{внут}} = 2(a + b)).
Внешний периметр - это периметр прямоугольника, который образуется, если к каждой стороне клумбы добавить ширину дорожки с двух сторон. Таким образом, длина прямоугольника будет (a + 2x), а ширина - (b + 2x). Следовательно, внешний периметр равен (P_{\text{внеш}} = 2((a + 2x) + (b + 2x)) = 2(a + b + 4x)).
По условию задачи, внутренний периметр меньше внешнего на 16 м. Это можно записать следующим уравнением:
[ P{\text{внеш}} - P{\text{внут}} = 16. ]
Подставим выражения для периметров:
[ 2(a + b + 4x) - 2(a + b) = 16. ]
Упростим уравнение:
[ 2(a + b + 4x) - 2(a + b) = 16 ] [ 2(a + b) + 8x - 2(a + b) = 16 ] [ 8x = 16. ]
Теперь решим его относительно (x):
[ x = \frac{16}{8} = 2. ]
Таким образом, ширина дорожки составляет 2 метра.
Пусть длина клумбы равна (а), ширина клумбы равна (b), а ширина дорожки равна (х).
Тогда внутренний периметр клумбы равен (2(а + b)), а внешний периметр (включая дорожку) равен (2(а + 2b + 2x)).
По условию задачи имеем уравнение: [2(а + b) + 16 = 2(а + 2b + 2x)]
Упрощаем: [а + b + 8 = а + 2b + 2x] [a - a + b - 2b = 2x - 8] [-b = 2x - 8] [b = 8 - 2x]
Так как ширина дорожки должна быть положительной, то (b > 0): [8 - 2x > 0] [2x < 8] [x < 4]
Таким образом, ширина дорожки должна быть меньше 4 метров.
