В некотором испытании Бернулли успех наступает с вероятностью p=0,6. Найдите вероятность того, что в...

Для решения данной задачи используем формулу Бернулли. Вероятность того, что в серии из пяти испытаний будет 3 успеха, можно вычислить следующим образом:

P(X=3) = C(5,3) p^3 (1-p)^(5-3),

где C(5,3) - число сочетаний из 5 по 3, p - вероятность успеха (0,6), (1-p) - вероятность неудачи (1-0,6=0,4).

Подставляя значения, получаем:

P(X=3) = C(5,3) (0,6)^3 (0,4)^2 = (5! / (3! (5-3)!) 0,6^3 0,4^2 = 10 0,216 * 0,16 = 0,3456.

Таким образом, вероятность того, что в серии из пяти испытаний будет 3 успеха, составляет 0,3456 или 34,56%.

Для решения данной задачи мы можем использовать биномиальное распределение, которое применяется для описания числа успехов в серии независимых испытаний Бернулли.

Испытание Бернулли — это такое испытание, которое имеет два возможных исхода: успех (с вероятностью ( p )) и неудача (с вероятностью ( 1 - p )).

Формула биномиального распределения для нахождения вероятности того, что в серии из ( n ) испытаний будет ровно ( k ) успехов, выглядит следующим образом:

[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1 - p)^{n - k} ]

где:

• ( \binom{n}{k} ) — биномиальный коэффициент, который вычисляется как ( \frac{n!}{k!(n - k)!} );
• ( n ) — общее число испытаний;
• ( k ) — число успехов;
• ( p ) — вероятность успеха в одном испытании;
• ( 1 - p ) — вероятность неудачи в одном испытании.

В нашем случае:

• ( n = 5 ) (серия из пяти испытаний),
• ( k = 3 ) (необходимо найти вероятность того, что будет три успеха),
• ( p = 0.6 ) (вероятность успеха в одном испытании),
• ( 1 - p = 0.4 ) (вероятность неудачи в одном испытании).

Теперь подставим эти значения в формулу:

1. Вычислим биномиальный коэффициент ( \binom{5}{3} ):

[ \binom{5}{3} = \frac{5!}{3!(5 - 3)!} = \frac{5!}{3! \cdot 2!} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3!}{3! \cdot 2 \cdot 1} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10 ]

1. Вычислим вероятность ( P(X = 3) ):

[ P(X = 3) = 10 \cdot (0.6)^3 \cdot (0.4)^{5 - 3} = 10 \cdot (0.6)^3 \cdot (0.4)^2 ]

1. Найдём значения степеней:

[ (0.6)^3 = 0.6 \cdot 0.6 \cdot 0.6 = 0.216 ]

[ (0.4)^2 = 0.4 \cdot 0.4 = 0.16 ]

1. Подставим все значения в формулу:

[ P(X = 3) = 10 \cdot 0.216 \cdot 0.16 = 10 \cdot 0.03456 = 0.3456 ]

Итак, вероятность того, что в серии из пяти испытаний будет ровно три успеха, составляет ( 0.3456 ) или ( 34.56\% ).