В Курляндии 34 города, причем каждый с каждым соединен дорогой. Какое наибольшее количество дорог можно закрыть на ремонт, чтобы из каждого города по прежнему можно было проехать в каждый?
В Курляндии 34 города, причем каждый с каждым соединен дорогой. Какое наибольшее количество дорог можно закрыть на ремонт, чтобы из каждого города по прежнему можно было проехать в каждый?
Для ответа на этот вопрос важно учесть, что изначально в Курляндии существует полносвязный граф, в котором каждый город соединён с каждым. Полносвязный граф с ( n ) вершинами содержит (\frac{n(n-1)}{2}) рёбер. В нашем случае с 34 городами это будет ( \frac{34 \times 33}{2} = 561 ) дорога.
Чтобы сохранить возможность перемещения между любыми двумя городами, необходимо, чтобы граф оставался связным. Минимальное количество рёбер, необходимое для сохранения связности графа с ( n ) вершинами, равно ( n-1 ). Это количество рёбер соответствует структуре дерева (минимальный связный граф), где нет циклов, и все города могут быть достигнуты из любого другого.
Таким образом, в Курляндии можно оставить минимально необходимые 33 дороги (одну меньше количества городов), чтобы граф остался связным. Если мы закроем на ремонт все остальные дороги, то их количество будет:
[ 561 - 33 = 528 ]
Так что максимальное количество дорог, которое можно закрыть на ремонт, при условии, что из каждого города всё ещё можно будет проехать в каждый другой, составляет 528.
Для того чтобы из каждого города по-прежнему можно было проехать в каждый другой город, необходимо, чтобы граф соединений городов оставался связным. Это означает, что граф должен оставаться связным даже после удаления некоторых ребер (дорог).
В данном случае, чтобы найти наибольшее количество дорог, которые можно закрыть на ремонт, не нарушив связность графа, нужно найти минимальное остовное дерево для данного графа. Минимальное остовное дерево - это подграф, содержащий все вершины из исходного графа и являющийся деревом (связным графом без циклов), при этом общая сумма весов ребер в остовном дереве минимальна.
Для полного графа из 34 вершин (городов) минимальное остовное дерево будет содержать 33 ребра, так как в дереве на n вершинах всегда n-1 ребро. Следовательно, наибольшее количество дорог, которые можно закрыть на ремонт, чтобы гарантировать проезд из каждого города в каждый другой, составляет 34-33=1 дорога.
Чтобы из каждого города все еще можно было проехать в каждый даже после закрытия дорог на ремонт, нужно закрыть не более чем 33 дороги.
