Установите связь между векторами m=2(1/5a-1/3b)-3(1/4a-1/2b) и n=-21a-50b

Для установления связи между векторами ( \mathbf{m} = 2\left(\frac{1}{5}\mathbf{a} - \frac{1}{3}\mathbf{b}\right) - 3\left(\frac{1}{4}\mathbf{a} - \frac{1}{2}\mathbf{b}\right) ) и ( \mathbf{n} = -21\mathbf{a} - 50\mathbf{b} ), необходимо сначала упростить выражение для вектора ( \mathbf{m} ).

Начнем с раскрытия скобок в выражении для ( \mathbf{m} ):

[ \mathbf{m} = 2\left(\frac{1}{5}\mathbf{a} - \frac{1}{3}\mathbf{b}\right) - 3\left(\frac{1}{4}\mathbf{a} - \frac{1}{2}\mathbf{b}\right) ]

Раскроем скобки, умножив скаляры на векторы:

[ \mathbf{m} = 2 \cdot \frac{1}{5}\mathbf{a} - 2 \cdot \frac{1}{3}\mathbf{b} - 3 \cdot \frac{1}{4}\mathbf{a} + 3 \cdot \frac{1}{2}\mathbf{b} ]

[ \mathbf{m} = \frac{2}{5}\mathbf{a} - \frac{2}{3}\mathbf{b} - \frac{3}{4}\mathbf{a} + \frac{3}{2}\mathbf{b} ]

Теперь приведем коэффициенты при векторах ( \mathbf{a} ) и ( \mathbf{b} ) к общему знаменателю. Для ( \mathbf{a} ) общий знаменатель будет 20, а для ( \mathbf{b} ) — 6:

[ \mathbf{m} = \left(\frac{2 \cdot 4}{5 \cdot 4} - \frac{3 \cdot 5}{4 \cdot 5}\right)\mathbf{a} + \left(\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 2}\right)\mathbf{b} ]

[ \mathbf{m} = \left(\frac{8}{20} - \frac{15}{20}\right)\mathbf{a} + \left(\frac{9}{6} - \frac{4}{6}\right)\mathbf{b} ]

[ \mathbf{m} = \left(\frac{8 - 15}{20}\right)\mathbf{a} + \left(\frac{9 - 4}{6}\right)\mathbf{b} ]

[ \mathbf{m} = \left(-\frac{7}{20}\right)\mathbf{a} + \left(\frac{5}{6}\right)\mathbf{b} ]

Теперь выразим ( \mathbf{m} ) через рациональные коэффициенты:

[ \mathbf{m} = -\frac{7}{20}\mathbf{a} + \frac{5}{6}\mathbf{b} ]

Для того чтобы найти связь между ( \mathbf{m} ) и ( \mathbf{n} ), попробуем выразить ( \mathbf{n} ) через ( \mathbf{m} ). Сравним коэффициенты при векторах ( \mathbf{a} ) и ( \mathbf{b} ):

[ \mathbf{n} = -21\mathbf{a} - 50\mathbf{b} ]

Сравним:

[ \mathbf{m} = -\frac{7}{20}\mathbf{a} + \frac{5}{6}\mathbf{b} ]

Попробуем выразить ( \mathbf{n} ) как некоторое число, умноженное на ( \mathbf{m} ). Пусть ( \mathbf{n} = k\mathbf{m} ). Тогда:

[ -21\mathbf{a} - 50\mathbf{b} = k\left(-\frac{7}{20}\mathbf{a} + \frac{5}{6}\mathbf{b}\right) ]

Рассмотрим коэффициенты при ( \mathbf{a} ) и ( \mathbf{b} ):

Для ( \mathbf{a} ):

[ -21 = k \left(-\frac{7}{20}\right) ]

[ -21 = -\frac{7k}{20} ]

[ 21 = \frac{7k}{20} ]

[ 21 \cdot 20 = 7k ]

[ 420 = 7k ]

[ k = 60 ]

Для ( \mathbf{b} ):

[ -50 = k \left(\frac{5}{6}\right) ]

[ -50 = \frac{5k}{6} ]

[ -50 \cdot 6 = 5k ]

[ -300 = 5k ]

[ k = -60 ]

Получили противоречие. Следовательно, неверно предположение о том, что ( \mathbf{n} ) и ( \mathbf{m} ) пропорциональны. Однако исходя из коэффициентов, можно видеть, что векторы ( \mathbf{m} ) и ( \mathbf{n} ) линейно независимы, поскольку не существует единственного значения ( k ), которое бы удовлетворяло обоим уравнениям.

Вектора m и n коллинеарны, то есть параллельны.

Для установления связи между векторами m и n, нужно произвести раскрытие скобок, учитывая, что коэффициенты перед переменными a и b равны 2, -3, -21 и -50 соответственно.

m = 2(1/5a - 1/3b) - 3(1/4a - 1/2b) m = 2/5a - 2/3b - 3/4a + 3/2b m = 2/5a - 3/4a - 2/3b + 3/2b m = 2/5a - 3/4a - 2/3b + 3/2b

Выполним умножение на коэффициенты:

m = 2/5a - 3/4a - 2/3b + 3/2b m = 2/5a - 3/4a - 2/3b + 3/2b m = (2/5 - 3/4)a + (-2/3 + 3/2)b m = (8/20 - 15/20)a + (-8/12 + 18/12)b m = (-7/20)a + (10/12)b m = -7/20a + 5/6b

Теперь можем сравнить полученный результат с вектором n:

n = -21a - 50b

Таким образом, установленная связь между векторами m и n выражается следующим образом:

m = -7/20a + 5/6b = n