У мамы 2 яблока, 3 груши и 4 апельсина. Каждый день в течение девяти дней она выдает сыну по одному...

Чтобы решить задачу о том, сколькими способами мама может выдавать сыну плоды в течение девяти дней, нам нужно рассмотреть все возможные перестановки наборов из 2 яблок, 3 груш и 4 апельсинов.

Обозначим яблоки буквой ( A ), груши буквой ( G ), а апельсины буквой ( O ). Наша задача сводится к нахождению количества различных перестановок строки из 2 букв ( A ), 3 букв ( G ) и 4 букв ( O ).

Общее количество перестановок (без учета повторяющихся элементов) определяется формулой для перестановок с повторениями:

[ \frac{n!}{n_1! \cdot n_2! \cdot n_3!} ]

где ( n ) — общее количество элементов, ( n_1 ), ( n_2 ), ( n_3 ) — количество повторяющихся элементов каждого типа.

В данном случае ( n = 2 + 3 + 4 = 9 ), ( n_1 = 2 ) (яблоки), ( n_2 = 3 ) (груши), ( n_3 = 4 ) (апельсины).

Подставим значения в формулу:

[ \frac{9!}{2! \cdot 3! \cdot 4!} ]

Теперь вычислим факториалы:

[ 9! = 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 362880 ]

[ 2! = 2 \times 1 = 2 ]

[ 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6 ]

[ 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24 ]

Теперь подставим эти значения обратно в нашу формулу:

[ \frac{362880}{2 \times 6 \times 24} ]

Рассчитаем знаменатель:

[ 2 \times 6 = 12 ]

[ 12 \times 24 = 288 ]

Теперь разделим числитель на знаменатель:

[ \frac{362880}{288} = 1260 ]

Таким образом, мама может выдать сыну фрукты за девять дней 1260 различными способами.

Для решения этой задачи можно использовать комбинаторику. У нас есть 9 дней и 9 фруктов, которые нужно выдать сыну. Мы можем рассмотреть каждый фрукт как отдельный элемент и использовать принцип умножения.

Для каждого фрукта у нас есть несколько вариантов: яблоко, груша или апельсин. Так как каждый день сыну выдают по одному фрукту, то для каждого из 9 дней мы можем выбрать один из трех фруктов. Таким образом, общее количество способов будет равно 3^9 = 19683.

Таким образом, мама может выдать сыну фрукты 19683 различными способами в течение девяти дней.

Всего 243 способа выдать сыну плоды.