Тимофей хочет взять в кредит 1,1 млн рублей. Погашение кредита происходит раз в год равными суммами (кроме, может быть, последней) после начисления процентов. Ставка процента 10% годовых. На какое минимальное количество лет может Тимофей взять кредит, чтобы ежегодные выплаты были не более 270 тысяч рублей?
Для решения данной задачи можно воспользоваться формулой аннуитета:
[ A = P \times \frac{r \times (1 + r)^n}{(1 + r)^n - 1} ]
где: ( A ) - ежегодные выплаты, ( P ) - сумма кредита, ( r ) - ставка процента, ( n ) - количество лет.
Подставим известные значения: ( A = 270,000 ) рублей, ( P = 1,100,000 ) рублей, ( r = 0.10 ) (10%), и найдем минимальное количество лет ( n ).
[ 270,000 = 1,100,000 \times \frac{0.10 \times (1 + 0.10)^n}{(1 + 0.10)^n - 1} ]
[ 270,000 = 110,000 \times \frac{0.10 \times (1.10)^n}{(1.10)^n - 1} ]
[ 2.4545 = \frac{0.10 \times 1.10^n}{1.10^n - 1} ]
[ 2.4545 \times (1.10^n - 1) = 0.10 \times 1.10^n ]
[ 2.4545 \times 1.10^n - 2.4545 = 0.10 \times 1.10^n ]
[ 2.4545 \times 1.10^n - 0.10 \times 1.10^n = 2.4545 ]
[ 2.3545 \times 1.10^n = 2.4545 ]
[ 1.10^n = \frac{2.4545}{2.3545} ]
[ 1.10^n = 1.04155 ]
[ n \approx 5 ]
Таким образом, Тимофей может взять кредит на минимальное количество лет, равное 5, чтобы ежегодные выплаты не превышали 270 тысяч рублей.
Тимофей может взять кредит на минимальное количество лет, равное 5.
Для решения данной задачи необходимо выяснить, какую сумму нужно будет выплатить каждый год, чтобы общая сумма выплат не превышала 270 тысяч рублей в год при условии, что процентная ставка составляет 10% годовых.
Сначала рассчитаем, как изменяется остаток долга каждый год после начисления процентов и выплаты части долга. Пусть ( x ) – сумма годовой выплаты. После первого года остаток долга будет равен ( 1.1 \times 1.1 - x ) млн рублей (начислено 10% процентов и вычтена выплата ( x )). После второго года остаток станет ( (1.1 \times 1.1 - x) \times 1.1 - x ) и так далее.
Нам нужно найти минимальное количество лет ( n ), при котором выплаты не превышают 270 тысяч рублей в год, и долг полностью погашается. Оформим это в виде уравнения для ( n )-го года: [ (1.1 \times 1.1 - x) \times 1.1^{n-1} - x \times \sum_{i=0}^{n-2} 1.1^i = 0 ]
Здесь ( \sum_{i=0}^{n-2} 1.1^i ) – это сумма геометрической прогрессии, которая равна ( \frac{1 - 1.1^{n-1}}{1 - 1.1} ). Теперь подставим максимальную возможную выплату 0.27 млн рублей вместо ( x ) и решим уравнение относительно ( n ).
Подставляем и получаем: [ (1.1 - 0.27) \times 1.1^{n-1} - 0.27 \times \frac{1 - 1.1^{n-1}}{-0.1} = 0 ] [ 0.83 \times 1.1^{n-1} - 2.7 \times (1 - 1.1^{n-1}) = 0 ] [ 0.83 \times 1.1^{n-1} - 2.7 + 2.7 \times 1.1^{n-1} = 0 ] [ 3.53 \times 1.1^{n-1} = 2.7 ] [ 1.1^{n-1} = \frac{2.7}{3.53} ] [ 1.1^{n-1} \approx 0.765 ]
Решив это уравнение (например, методом проб или используя логарифмы), найдем: [ n - 1 = \log_{1.1}(0.765) ] [ n - 1 \approx 4.3 ] [ n \approx 5.3 ]
Округляя до целых, получаем ( n = 6 ) лет. Таким образом, Тимофей может взять кредит на минимальный срок в 6 лет, при этом ежегодные выплаты будут составлять не более 270 тысяч рублей.
