Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 320 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения равна 2 км/ч, стоянка длится 4 часа , а в пункт отправления теплоход возвращается через 40 часов после отплытия из него.
Пусть скорость теплохода в неподвижной воде равна V км/ч. Тогда при движении по течению скорость теплохода будет V + 2 км/ч, а против течения V - 2 км/ч.
При движении до пункта назначения теплоход проходит 320 км, что занимает ему t часов. Тогда время стоянки и возвращения в пункт отправления составляет 40 + 4 + t = 44 + t часов.
Запишем уравнение движения теплохода при возвращении в пункт отправления: 320 = (V - 2)(44 + t).
Также знаем, что время движения до пункта назначения: 320 = (V + 2)t.
Решив систему уравнений, найдем, что скорость теплохода в неподвижной воде равна 12 км/ч.
Пусть скорость теплохода в неподвижной воде равна V км/ч. Тогда скорость теплохода относительно воды при движении по течению реки будет равна V + 2 км/ч, а против течения - V - 2 км/ч.
Для расчета времени движения теплохода до пункта назначения воспользуемся формулой времени: время = расстояние / скорость. Так как теплоход проходит 320 км до пункта назначения, то время движения по течению будет равно 320 / (V + 2) часов.
После стоянки теплоход возвращается в пункт отправления. По условию, он возвращается через 40 часов после отплытия из него. Следовательно, время движения против течения равно 40 часов.
Таким образом, с учетом времени стоянки, общее время движения теплохода до пункта назначения и обратно составляет 320 / (V + 2) + 40 часов.
С другой стороны, время движения теплохода от пункта отправления до пункта назначения и обратно равно 320 / (V - 2) + 40 часов.
Исходя из условия задачи, оба выражения для времени движения должны быть равны. Поэтому получаем уравнение:
320 / (V + 2) + 40 = 320 / (V - 2) + 40
Решив данное уравнение, найдем значение скорости теплохода в неподвижной воде.
Для решения задачи обозначим скорость теплохода в стоячей воде как ( v ) км/ч. Скорость течения реки равна 2 км/ч, следовательно, скорость теплохода по течению реки будет ( v + 2 ) км/ч, а против течения — ( v - 2 ) км/ч.
Теплоход проходит расстояние до пункта назначения (320 км) по течению и возвращается обратно против течения на ту же дистанцию. Время, которое затрачивает теплоход на путь в одну сторону, можно выразить как ( t_1 = \frac{320}{v+2} ) часов по течению и ( t_2 = \frac{320}{v-2} ) часов против течения.
Суммарное время пути теплохода в обе стороны, включая время стоянки, составляет 40 часов. Уравнение для времени пути выглядит следующим образом: [ t_1 + t_2 + 4 = 40 ] Подставляем выражения для ( t_1 ) и ( t_2 ): [ \frac{320}{v+2} + \frac{320}{v-2} + 4 = 40 ] Упростим данное уравнение: [ \frac{320}{v+2} + \frac{320}{v-2} = 36 ] Приведем уравнение к общему знаменателю: [ 320(v-2) + 320(v+2) = 36(v^2 - 4) ] [ 320v - 640 + 320v + 640 = 36v^2 - 144 ] [ 640v = 36v^2 - 144 ] [ 36v^2 - 640v - 144 = 0 ]
Теперь решим данное квадратное уравнение: [ v^2 - \frac{640}{36}v - 4 = 0 ] [ v^2 - \frac{160}{9}v - 4 = 0 ]
Используем формулу для корней квадратного уравнения: [ v = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ] где ( a = 1 ), ( b = -\frac{160}{9} ), ( c = -4 ). [ v = \frac{\frac{160}{9} \pm \sqrt{\left(\frac{160}{9}\right)^2 + 16}}{2} ] [ v = \frac{\frac{160}{9} \pm \sqrt{\frac{25600}{81} + \frac{576}{81}}}{2} ] [ v = \frac{\frac{160}{9} \pm \sqrt{\frac{26176}{81}}}{2} ] [ v = \frac{\frac{160}{9} \pm \frac{162}{9}}{2} ] [ v = \frac{\frac{160}{9} + \frac{162}{9}}{2} \quad (\text{берем положительный корень, так как скорость не может быть отрицательной}) ] [ v = \frac{\frac{322}{9}}{2} = \frac{161}{9} \approx 17.89 \text{ км/ч} ]
Таким образом, скорость теплохода в стоячей воде составляет примерно 17.89 км/ч.
