Стороны правильной четырёхугольной усеченной пирамиды 4 см и 10, длина апофемы 5 см. найти высоту
Стороны правильной четырёхугольной усеченной пирамиды 4 см и 10, длина апофемы 5 см. найти высоту
Чтобы найти высоту правильной четырёхугольной усеченной пирамиды, нужно воспользоваться свойствами геометрии усеченной пирамиды.
Дано:
Нужно найти высоту (h) усеченной пирамиды.
Найти радиусы описанных окружностей.
Для квадратов, радиус описанной окружности равен половине диагонали. Диагональ квадрата со стороной (a) равна (a\sqrt{2}).
Радиус описанной окружности нижнего основания: [ R_2 = \frac{a_2 \sqrt{2}}{2} = \frac{10 \sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2} ]
Радиус описанной окружности верхнего основания: [ R_1 = \frac{a_1 \sqrt{2}}{2} = \frac{4 \sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} ]
Найти разность радиусов:
[ \Delta R = R_2 - R_1 = 5\sqrt{2} - 2\sqrt{2} = 3\sqrt{2} ]
Использовать теорему Пифагора для треугольника, образованного высотой, апофемой и разностью радиусов:
В этом треугольнике:
Применяем теорему Пифагора: [ l^2 = h^2 + (\Delta R)^2 ]
Подставим известные значения: [ 5^2 = h^2 + (3\sqrt{2})^2 ] [ 25 = h^2 + 18 ] [ h^2 = 25 - 18 = 7 ] [ h = \sqrt{7} ]
Таким образом, высота усеченной пирамиды равна (\sqrt{7}) см.
Для нахождения высоты правильной четырёхугольной усеченной пирамиды можно воспользоваться теоремой Пифагора.
Обозначим высоту пирамиды как h. Тогда можно разделить пирамиду на две части: верхнюю пирамиду с высотой h и нижний усеченный тетраэдр с высотой (h-5) см.
Из теоремы Пифагора для верхней пирамиды получаем: (4/2)^2 + h^2 = 5^2 2^2 + h^2 = 25 4 + h^2 = 25 h^2 = 21 h = √21
Теперь можем найти высоту нижнего усеченного тетраэдра: ((10-4)/2)^2 + (h-5)^2 = h^2 3^2 + (h-5)^2 = 21 9 + h^2 - 10h + 25 = 21 h^2 - 10h + 9 = 21 - 25 h^2 - 10h - 16 = 0
Решив квадратное уравнение, получим два возможных значения для h: h₁ = 8 h₂ = 2
Таким образом, высота усеченной пирамиды может быть 8 см или 2 см.
