Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 3 сантиметра.Боковое ребро образует с плоскостью...

Для решения задачи о нахождении объема правильной треугольной пирамиды, нам нужно последовательно рассмотреть несколько этапов.

1. Нахождение высоты боковой грани: Так как боковое ребро пирамиды образует угол 60 градусов с плоскостью основания, мы можем использовать это, чтобы найти высоту боковой грани.

   Пусть (S) — вершина пирамиды, (ABC) — основание пирамиды, а (O) — центр правильного треугольника (ABC). (SO) — высота пирамиды, и она перпендикулярна плоскости основания.

   Обозначим боковое ребро как (a). Из условия задачи известно, что боковое ребро образует угол 60 градусов с плоскостью основания, то есть (\angle SOA = 60^\circ).

   В треугольнике (SOA), где (OA) — радиус описанной окружности правильного треугольника (ABC):

   [ \cos(60^\circ) = \frac{OA}{a} = \frac{1}{2} ]

   Следовательно, (OA = \frac{a}{2}).

2. Нахождение радиуса описанной окружности (OA): Радиус описанной окружности правильного треугольника с длиной стороны (3) см вычисляется по формуле:

   [ R = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3} ]

   Таким образом, (OA = \sqrt{3}) см.

3. Нахождение бокового ребра (a): Подставляем найденное значение (OA) в соотношение:

   [ \sqrt{3} = \frac{a}{2} \implies a = 2\sqrt{3} ]

4. Нахождение высоты пирамиды (SO): Используем треугольник (SOA):

   [ SO = a \sin(60^\circ) = 2\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3 ]

5. Нахождение площади основания: Площадь правильного треугольника (ABC) со стороной (3) см вычисляется по формуле:

   [ S = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 3^2 = \frac{9\sqrt{3}}{4} ]

6. Нахождение объема пирамиды: Объем пирамиды вычисляется по формуле:

   [ V = \frac{1}{3} S_{основания} \cdot h ]

   Подставляем найденные значения:

   [ V = \frac{1}{3} \cdot \frac{9\sqrt{3}}{4} \cdot 3 = \frac{1}{3} \cdot \frac{27\sqrt{3}}{4} = \frac{27\sqrt{3}}{12} = \frac{9\sqrt{3}}{4} ]

Таким образом, объем правильной треугольной пирамиды составляет (\frac{9\sqrt{3}}{4}) кубических сантиметров.

Для нахождения объема правильной треугольной пирамиды необходимо использовать следующую формулу: V = (1/3) S h, где V - объем пирамиды, S - площадь основания, h - высота пирамиды.

Для начала найдем площадь основания. Поскольку у нас правильный треугольник, то можем воспользоваться формулой для площади правильного треугольника: S = (a^2 * sqrt(3)) / 4, где a - длина стороны основания.

Подставляем данные: S = (3^2 sqrt(3)) / 4 = (9 sqrt(3)) / 4 = (9 * 1.732) / 4 = 15.588 / 4 = 3.897.

Теперь найдем высоту пирамиды. Для этого воспользуемся теоремой Пифагора: h = sqrt(l^2 - (a/2)^2), где l - боковое ребро, a - длина стороны основания.

Подставляем данные: h = sqrt(3^2 - (3/2)^2) = sqrt(9 - 2.25) = sqrt(6.75) = 2.60.

Теперь можем найти объем пирамиды: V = (1/3) 3.897 2.60 = 3.897 * 2.60 / 3 = 10.1 см^3.

Ответ: объем пирамиды равен 10.1 см^3.