Сократите дробь 4-c/c+2√c

Для сокращения данной дроби необходимо сначала объединить числитель и знаменатель в одно выражение. Для этого умножим числитель и знаменатель на c - 2√c:

(4c - c)/(c + 2√c) = 3c/(c + 2√c)

Теперь, чтобы дробь была сокращенной, нужно разделить числитель и знаменатель на их НОД (наибольший общий делитель). В данном случае НОД равен c, поэтому дробь будет:

3/(1 + 2√c)

Для того чтобы сократить дробь ( \frac{4 - c}{c + 2\sqrt{c}} ), сначала рассмотрим числитель и знаменатель в отдельности, чтобы понять, можно ли каким-то образом упростить выражение.

Шаг 1: Анализ числителя и знаменателя

Числитель: ( 4 - c )

Знаменатель: ( c + 2\sqrt{c} )

На первый взгляд, очевидного общего множителя между числителем и знаменателем нет. Поэтому, следующий шаг — попытка упростить дробь другими методами, например, через разложение на множители или применение известных тождеств.

Шаг 2: Попробуем упростить выражение

Попробуем разложить знаменатель. Заметим, что ( c + 2\sqrt{c} ) можно представить в виде квадрата суммы: [ c + 2\sqrt{c} = (\sqrt{c})^2 + 2\sqrt{c} ] [ = (\sqrt{c} + 1)^2 - 1 ] Такого представления здесь не получится без ошибки, потому что это не является квадратом.

Шаг 3: Пробуем преобразовать знаменатель

Можем написать: [ c + 2\sqrt{c} = (\sqrt{c} + 1)^2 ]

Теперь попробуем рассмотреть числитель в контексте знаменателя. Можно заметить, что если мы представим ( c ) как ( (\sqrt{c})^2 ), то:

[ 4 - c = 4 - (\sqrt{c})^2 ]

Шаг 4: Применение формулы разности квадратов

Формула разности квадратов ( a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) ) может быть полезна:

[ 4 - (\sqrt{c})^2 = (2)^2 - (\sqrt{c})^2 ] [ = (2 - \sqrt{c})(2 + \sqrt{c}) ]

Шаг 5: Переписываем дробь с учетом преобразований

Теперь дробь принимает вид: [ \frac{(2 - \sqrt{c})(2 + \sqrt{c})}{c + 2\sqrt{c}} ]

Шаг 6: Упрощение знаменателя

Теперь знаменатель ( c + 2\sqrt{c} ) можно представить как: [ (\sqrt{c} + 1)^2 ]

Шаг 7: Окончательная форма дроби

Таким образом, дробь может быть переписана как: [ \frac{(2 - \sqrt{c})(2 + \sqrt{c})}{(\sqrt{c} + 1)^2} ]

Но в данном случае дальнейшего сокращения не получится, так как числитель и знаменатель не имеют общих множителей.

Итак, дробь (\frac{4 - c}{c + 2\sqrt{c}}) уже представлена в максимально упрощенном виде, и дальнейшее ее упрощение невозможно.

Для сокращения данной дроби нужно вынести за скобку c и упростить выражение. Получится 4/(1+2√c).