Сколько существует четырехзначных чисел цифры которых идут в убывающем порядке

Четырехзначные числа, цифры которых идут в убывающем порядке, представляют собой числа, где каждая последующая цифра меньше предыдущей. Например, число 4321 подходит под это условие, а число 4312 — нет.

Для решения данной задачи удобно воспользоваться комбинаторикой. Поскольку цифры четырехзначного числа лежат в диапазоне от 1 до 9 (0 не может быть первой цифрой числа), нам нужно выбрать 4 различных цифры из множества {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} и упорядочить их в убывающем порядке.

Количество способов выбрать 4 цифры из 9 можно найти с помощью биномиального коэффициента, который обозначается как C(n, k) и определяется формулой:

[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} ]

В нашем случае ( n = 9 ) и ( k = 4 ):

[ C(9, 4) = \frac{9!}{4!(9-4)!} = \frac{9!}{4! \cdot 5!} ]

Вычислим факториалы:

[ 9! = 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 ] [ 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24 ] [ 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120 ]

Теперь подставим значения:

[ C(9, 4) = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5!}{4! \times 5!} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4!} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{24} ]

Выполним деление:

[ \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{24} = \frac{3024}{24} = 126 ]

Таким образом, существует 126 четырехзначных чисел, цифры которых идут в убывающем порядке.

Для того чтобы найти количество четырехзначных чисел, цифры которых идут в убывающем порядке, нужно учесть следующее:

1. Начиная с самой большой цифры, необходимо выбрать четыре различные цифры из множества {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Поскольку цифры должны идти в убывающем порядке, то есть только один способ составления такого числа из выбранных цифр.

2. Но при этом необходимо исключить числа, начинающиеся с нуля, так как они не являются четырехзначными.

Таким образом, количество четырехзначных чисел, цифры которых идут в убывающем порядке, равно количеству способов выбрать четыре различные цифры из множества {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, что равно сочетанию из 9 по 4, умноженному на 4 (так как четырехзначное число начинается не с нуля).

Итак, количество четырехзначных чисел, цифры которых идут в убывающем порядке, равно C(9,4) 4 = 126 4 = 504.