Сколько наборов из 7 пирожных можно составить, если в продаже имеются 4 сорта пирожных?

Для решения задачи о количестве наборов из 7 пирожных, когда в продаже имеются 4 сорта пирожных, нужно использовать комбинаторный метод, называемый комбинаторикой с повторениями.

Задача сводится к поиску количества неотрицательных целочисленных решений уравнения:

[ x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 7, ]

где ( x_1, x_2, x_3, x_4 ) — это количество пирожных каждого из 4 сортов. Нам нужно определить, сколько существует различных способов распределения 7 пирожных по 4 сортам.

Для решения такой задачи используется формула сочетаний с повторениями, которая определяет число способов распределения ( n ) одинаковых предметов по ( k ) различным категориям:

[ C(n + k - 1, k - 1). ]

В данном случае ( n = 7 ) (пирожных), а ( k = 4 ) (сортов пирожных). Подставляя эти значения в формулу, получаем:

[ C(7 + 4 - 1, 4 - 1) = C(10, 3). ]

Теперь нужно вычислить значение сочетаний:

[ C(10, 3) = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120. ]

Таким образом, существует 120 различных наборов из 7 пирожных, которые можно составить из 4 имеющихся сортов.

Количество способов выбрать 7 пирожных из 4 сортов равно C(7+4-1, 7) = C(10, 7) = 120. Таким образом, можно составить 120 различных наборов из 7 пирожных.

Для решения данной задачи мы можем использовать комбинаторику. У нас есть 4 варианта пирожных и нам нужно выбрать 7 из них. Поскольку порядок выбора не имеет значения (нам важно только количество каждого из сортов), мы можем воспользоваться формулой сочетаний.

Формула сочетаний для выбора k элементов из n элементов без учета порядка задается следующим образом: C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!)

В данном случае n = 4 (количество сортов пирожных), k = 7 (общее количество пирожных в наборе). Подставляя значения в формулу, получаем: C(4, 7) = 4! / (7! (4-7)!) = 4! / (7! (-3)!)

Так как (-3)! не существует, то количество наборов из 7 пирожных, составленных из 4 сортов, будет равно 0. То есть невозможно составить набор из 7 пирожных, если в продаже имеются только 4 сорта пирожных.