Сколькими способами можно составить дозор из 3 солдат и 1 офицера, если имеются 80 солдат и 3 офицера.

Для решения этой задачи мы можем использовать принципы комбинаторики и принцип умножения.

1. Выбор солдат: Сначала нам нужно выбрать 3 солдата из 80. Так как порядок выбора не важен, мы используем сочетания. Число способов выбрать 3 солдата из 80 равно количеству сочетаний из 80 по 3, что обозначается как ( C(80, 3) ). Формула для вычисления сочетаний ( C(n, k) ) равна (\frac{n!}{k!(n-k)!}), где ( ! ) обозначает факториал, т.е. произведение всех натуральных чисел от 1 до данного числа.

   [ C(80, 3) = \frac{80!}{3!(80-3)!} = \frac{80 \times 79 \times 78}{3 \times 2 \times 1} = 82160 ]

2. Выбор офицера: Далее, нам нужно выбрать 1 офицера из 3. Число способов выбрать 1 офицера из 3 равно количеству сочетаний из 3 по 1, что обозначается как ( C(3, 1) ).

   [ C(3, 1) = \frac{3!}{1!(3-1)!} = \frac{3}{1} = 3 ]

3. Общее количество способов: Теперь, чтобы найти общее количество способов составить дозор из 3 солдат и 1 офицера, мы умножаем число способов выбрать солдат на число способов выбрать офицера (принцип умножения).

   [ 82160 \times 3 = 246480 ]

Таким образом, существует 246480 различных способов составить дозор из 3 солдат и 1 офицера из данной группы 80 солдат и 3 офицеров.

Существует 80 способов выбрать 3 солдат и 3 способа выбрать 1 офицера. Следовательно, всего можно составить дозор 80 * 3 = 240 способами.

Для решения данной задачи можно воспользоваться комбинаторикой.

Сначала выберем 3 солдат из 80 возможных способов. Это можно сделать по формуле сочетаний: C(80, 3) = 80! / (3! * (80-3)!), где C(n, k) - количество способов выбрать k элементов из n. В данном случае получаем C(80, 3) = 82 160 возможных комбинаций.

Затем выберем 1 офицера из 3 возможных способов. Это можно сделать по формуле сочетаний: C(3, 1) = 3! / (1! * (3-1)!), что равно 3.

Наконец, перемножим количество способов выбрать солдат и офицера: 82 160 * 3 = 246 480 возможных способов составить дозор из 3 солдат и 1 офицера.