Сколькими способами из 25 учащихся можно отобрать пятерых для участия в олимпиаде соответственно по...

Чтобы ответить на этот вопрос, нам нужно использовать комбинации и перестановки. Давайте разберем это пошагово.

Шаг 1: Выбор 5 учащихся из 25

Первым делом нужно выбрать 5 учащихся из 25. Это задача на нахождение числа комбинаций, так как порядок выбора не важен. Формула для комбинаций ( C(n, k) ) выглядит так:

[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} ]

В нашем случае ( n = 25 ) и ( k = 5 ):

[ C(25, 5) = \frac{25!}{5!(25-5)!} = \frac{25!}{5! \cdot 20!} ]

Шаг 2: Распределение 5 учащихся по 3 предметам

Теперь нужно распределить 5 выбранных учащихся по трем предметам: математике, литературе и химии. Это задача на перестановки с повторениями, так как мы распределяем 5 учеников на 3 предмета (некоторые предметы могут остаться без участников).

Количество способов распределения можно найти с помощью формулы перестановок с повторениями:

[ \frac{n!}{k_1! \cdot k_2! \cdot k_3!} ]

где ( n = 5 ) (общее число учащихся) и ( k_1 + k_2 + k_3 = 5 ) (число учащихся на каждый предмет).

Шаг 3: Подсчет всех возможных распределений

Для каждого набора ( k_1, k_2, k_3 ) так, что ( k_1 + k_2 + k_3 = 5 ), нам нужно посчитать количество способов. Здесь ( k_1 ), ( k_2 ) и ( k_3 ) могут принимать значения от 0 до 5, при условии что их сумма равна 5. Это можно сделать с помощью метода "разбиения числа".

Пример разбивки числа 5 на три части:

1. ( (5, 0, 0) )
2. ( (4, 1, 0) )
3. ( (4, 0, 1) )
4. ( (3, 2, 0) )
5. ( (3, 1, 1) )
6. ( (3, 0, 2) )
7. ( (2, 3, 0) )
8. ( (2, 2, 1) )
9. ( (2, 1, 2) )
10. ( (2, 0, 3) )
11. ( (1, 4, 0) )
12. ( (1, 3, 1) )
13. ( (1, 2, 2) )
14. ( (1, 1, 3) )
15. ( (1, 0, 4) )
16. ( (0, 5, 0) )
17. ( (0, 4, 1) )
18. ( (0, 3, 2) )
19. ( (0, 2, 3) )
20. ( (0, 1, 4) )
21. ( (0, 0, 5) )

Для каждой комбинации ( (k_1, k_2, k_3) ) нужно посчитать число перестановок. Например, для ( (3, 1, 1) ):

[ \frac{5!}{3!1!1!} = \frac{120}{6 \cdot 1 \cdot 1} = 20 ]

Итоговый подсчет

Итак, для каждого распределения нужно умножить количество способов выбрать 5 учащихся из 25 на количество способов распределить этих 5 учащихся по трем предметам.

Общее количество способов:

[ C(25, 5) \times \sum_{(k_1, k_2, k_3)} \frac{5!}{k_1! k_2! k_3!} ]

Теперь подставим значения:

[ C(25, 5) = \frac{25!}{5! \cdot 20!} = 53130 ]

Сумма всех перестановок с разбиениями уже посчитана и равна ( 3^5 = 243 ). Это происходит потому, что каждый из 5 мест можно заполнить одним из 3 предметов, что дает ( 3^5 ) комбинаций.

Итак, общее количество способов:

[ 53130 \times 243 = 12902490 ]

Следовательно, из 25 учащихся можно отобрать пятерых для участия в олимпиаде по математике, литературе и химии 12,902,490 способами.

Для решения данной задачи необходимо использовать комбинаторику. Для каждого предмета нужно выбрать 5 учащихся из 25. Это можно сделать по формуле сочетаний из 25 по 5. Таким образом, для математики, литературы и химии мы имеем: C(25, 5) C(25, 5) C(25, 5) = 53130 53130 53130 = 147008443000 Итак, всего существует 147 008 443 000 способов отобрать пятерых учащихся для участия в олимпиаде по математике, литературе и химии.