. Сколькими способами из 15 участников можно сформировать команду из 5 человек, а в ней капитана?

Существует 15 способов выбрать капитана и 14 способов выбрать остальных участников, поэтому общее количество способов составления команды будет равно 15 14 13 12 11 = 32 760.

Для формирования команды из 5 человек из 15 участников, где один из них будет капитаном, мы можем использовать сочетания.

Сначала выбираем капитана из 15 участников - это можно сделать 15 способами. Затем выбираем оставшихся 4 участников из оставшихся 14 (после выбора капитана) - это можно сделать С(14, 4) = 1001 способом.

Итак, общее количество способов сформировать команду из 5 человек, включая капитана, из 15 участников, составляет 15 * 1001 = 15015 способов.

Для решения задачи по выбору команды из 15 участников, включая назначение капитана, нужно рассмотреть два этапа:

1. Выбор 5 человек из 15 для формирования команды.
2. Выбор капитана из этих 5 человек.

Этап 1: Выбор 5 человек из 15

Для того чтобы выбрать 5 человек из 15, используется сочетание (комбинация) без повторений. Формула для сочетания ( C(n, k) ) (где ( n ) — общее количество элементов, ( k ) — количество элементов в подмножестве) выглядит так: [ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} ]

В нашем случае ( n = 15 ) и ( k = 5 ): [ C(15, 5) = \frac{15!}{5!(15-5)!} = \frac{15!}{5! \cdot 10!} ]

Теперь нужно вычислить значением факториалов: [ 15! = 15 \times 14 \times 13 \times 12 \times 11 \times 10! ] [ 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120 ] [ 10! = \text{(остальные факториалы сократятся)} ]

Подставим значения: [ C(15, 5) = \frac{15 \times 14 \times 13 \times 12 \times 11 \times 10!}{120 \times 10!} = \frac{15 \times 14 \times 13 \times 12 \times 11}{120} ]

Выполним деление: [ \frac{15 \times 14 \times 13 \times 12 \times 11}{120} = \frac{360360}{120} = 3003 ]

Таким образом, существует 3003 способа выбрать 5 человек из 15.

Этап 2: Выбор капитана из 5 человек

После того как команда из 5 человек выбрана, нужно назначить капитана. Для этого из 5 человек выбирается один. Это делается 5 способами (по одному для каждого члена команды).

Итоговое решение

Общее количество способов формирование команды из 5 человек из 15 с назначением капитана — это произведение количества способов выбрать команду и количества способов выбрать капитана: [ \text{Общее количество способов} = 3003 \times 5 = 15015 ]

Таким образом, существует 15015 способов сформировать команду из 5 человек из 15 участников и назначить одного из них капитаном.