Sin x/2=1/2 Помогите решить

Уравнение $\sin \frac{x}{2}=\frac{1}{2}$ можно решить следующим образом:

1. Вспоминаем, где синус равен $\frac{1}{2}$

Функция синуса принимает значение $\frac{1}{2}$ в двух точках на интервале $[0,2\pi ]$: $\sin \alpha =\frac{1}{2}\Rightarrow \alpha =\frac{\pi }{6}\text{ и }\alpha =\pi -\frac{\pi }{6}=\frac{5\pi }{6}.$ Значение $\frac{\pi }{6}$ соответствует первому квадранту $гдесинусположителен$, а значение $\frac{5\pi }{6}$ соответствует второму квадранту $гдесинустакжеположителен$.

2. Переходим к нашему уравнению

В нашем уравнении $\sin \frac{x}{2}=\frac{1}{2}$, то есть вместо $\alpha$ у нас $\frac{x}{2}$. Это значит: $\frac{x}{2}=\frac{\pi }{6}\text{или}\frac{x}{2}=\frac{5\pi }{6}.$

3. Нахождение общего решения

Синус — периодическая функция с периодом $2\pi$, поэтому общее решение для уравнения $\sin \frac{x}{2}=\frac{1}{2}$ будет учитывать все возможные значения, добавляя полный период $2\pi \cdot n$ $где(n\in \mathbb{Z}$): $\frac{x}{2}=\frac{\pi }{6}+2\pi n\text{или}\frac{x}{2}=\frac{5\pi }{6}+2\pi n,n\in \mathbb{Z}.$

4. Умножаем на 2, чтобы найти $x$

Теперь умножим обе части каждого уравнения на 2, чтобы выразить $x$: $x=2\cdot \frac{\pi }{6}+2\cdot 2\pi n=\frac{\pi }{3}+4\pi n,$ $x=2\cdot \frac{5\pi }{6}+2\cdot 2\pi n=\frac{5\pi }{3}+4\pi n,n\in \mathbb{Z}.$

5. Общее решение

Таким образом, общее решение уравнения: $x=\frac{\pi }{3}+4\pi n\text{или}x=\frac{5\pi }{3}+4\pi n,n\in \mathbb{Z}.$

6. Если требуется решение на определённом интервале

Если нужно найти решение на определённом интервале $например,(x\in [0,2\pi ]$), подставляем $n=0$:

• При $n=0$: $x=\frac{\pi }{3}$ и $x=\frac{5\pi }{3}$.

Таким образом, решения на интервале $[0,2\pi ]$: $x=\frac{\pi }{3}\text{и}x=\frac{5\pi }{3}.$

Ответ:

Общее решение:
$x=\frac{\pi }{3}+4\pi n\text{или}x=\frac{5\pi }{3}+4\pi n,n\in \mathbb{Z}.$

На интервале $[0,2\pi ]$:
$x=\frac{\pi }{3}\text{и}x=\frac{5\pi }{3}.$

Чтобы решить уравнение $\text{Missing or unrecognized delimiter for right}$ = \frac{1}{2}), найдем угол, при котором синус равен $\frac{1}{2}$. Это происходит при:

$\frac{x}{2}=\frac{\pi }{6}+2k\pi \text{или}\frac{x}{2}=\frac{5\pi }{6}+2k\pi ,k\in \mathbb{Z}$

Умножим обе стороны на 2:

1. $x=\frac{\pi }{3}+4k\pi$
2. $x=\frac{5\pi }{3}+4k\pi$

Таким образом, общее решение:

$x=\frac{\pi }{3}+4k\pi \text{и}x=\frac{5\pi }{3}+4k\pi ,k\in \mathbb{Z}$

Чтобы решить уравнение $\text{Missing or unrecognized delimiter for right}$ = \frac{1}{2}), нужно сначала вспомнить, при каких значениях аргумента синус равен $\frac{1}{2}$.

Синус принимает значение $\frac{1}{2}$ в следующих углах в радианах:

1. $\frac{\pi }{6}$ $или30градусов$
2. $\frac{5\pi }{6}$ $или150градусов$

Однако, синус — это периодическая функция с периодом $2\pi$, то есть:

$\sin (\theta )=\sin (\theta +2k\pi )$ где $k$ — любое целое число. Поэтому, для нашего случая, мы можем записать два уравнения:

1. $\frac{x}{2}=\frac{\pi }{6}+2k\pi$
2. $\frac{x}{2}=\frac{5\pi }{6}+2k\pi$

Теперь мы можем решить каждое из этих уравнений для $x$.

Для первого уравнения:

$\frac{x}{2}=\frac{\pi }{6}+2k\pi$

Умножаем обе стороны на 2:

$x=\frac{\pi }{3}+4k\pi$

Для второго уравнения:

$\frac{x}{2}=\frac{5\pi }{6}+2k\pi$

Умножаем обе стороны на 2:

$x=\frac{5\pi }{3}+4k\pi$

Общий результат

Теперь у нас есть два семейства решений:

1. $x=\frac{\pi }{3}+4k\pi$
2. $x=\frac{5\pi }{3}+4k\pi$

где $k$ — любое целое число.

Примеры конкретных решений

Если взять $k=0$, получим:

1. $x=\frac{\pi }{3}$
2. $x=\frac{5\pi }{3}$

Если взять $k=1$:

1. $x=\frac{\pi }{3}+4\pi =\frac{\pi }{3}+\frac{12\pi }{3}=\frac{13\pi }{3}$
2. $x=\frac{5\pi }{3}+4\pi =\frac{5\pi }{3}+\frac{12\pi }{3}=\frac{17\pi }{3}$

И так далее, для других значений $k$.

Таким образом, общее решение уравнения $\text{Missing or unrecognized delimiter for right}$ = \frac{1}{2}) можно записать как:

$x=\frac{\pi }{3}+4k\pi \text{или}x=\frac{5\pi }{3}+4k\pi ,k\in \mathbb{Z}$