Sin* pi(8x+3)/6=0,5 В от­ве­те на­пи­ши­те наи­мень­ший по­ло­жи­тель­ный ко­рень.

Для решения уравнения sin(pi(8x+3)/6) = 0,5 сначала приведем значение 0,5 к значению синуса некоторого угла. Мы знаем, что sin(π/6) = 0,5. Теперь уравнение примет вид sin(pi(8x+3)/6) = sin(π/6).

Далее, используя тригонометрическое тождество sin(A) = sin(B), мы можем выразить выражения в скобках: pi(8x+3)/6 = π/6 + 2πn, где n - целое число.

Решив уравнение, получим: 8x + 3 = 1 + 12n. Наименьший положительный корень будет соответствовать n = 0, тогда 8x + 3 = 1 и x = -0,25.

Таким образом, наименьший положительный корень уравнения sin(pi(8x+3)/6) = 0,5 равен -0,25.

Для решения уравнения (\sin\left(\frac{\pi(8x+3)}{6}\right) = 0.5), нужно найти значение (x), при котором аргумент синуса равен ( \frac{\pi}{6} + 2k\pi ) или ( \frac{5\pi}{6} + 2k\pi ), где (k) — любое целое число. Это связано с периодичностью функции синуса и её известными значениями на единичной окружности.

Шаг 1: Найдём аргументы, при которых (\sin) равен (0.5)

[ \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = 0.5 \quad \text{и} \quad \sin\left(\frac{5\pi}{6}\right) = 0.5 ]

Шаг 2: Составим уравнения

[ \frac{\pi(8x + 3)}{6} = \frac{\pi}{6} + 2k\pi ] [ \frac{\pi(8x + 3)}{6} = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi ]

Шаг 3: Решим первое уравнение

[ \frac{\pi(8x + 3)}{6} = \frac{\pi}{6} + 2k\pi ] Умножим обе части на 6: [ \pi(8x + 3) = \pi + 12k\pi ] Разделим обе части на (\pi): [ 8x + 3 = 1 + 12k ] Перенесем 3 на правую сторону уравнения: [ 8x = 1 + 12k - 3 ] [ 8x = 12k - 2 ] Разделим обе части на 8: [ x = \frac{12k - 2}{8} ] Упростим: [ x = \frac{3k - \frac{1}{4}}{2} ] [ x = \frac{3k - 1}{8} ]

Шаг 4: Решим второе уравнение

[ \frac{\pi(8x + 3)}{6} = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi ] Умножим обе части на 6: [ \pi(8x + 3) = 5\pi + 12k\pi ] Разделим обе части на (\pi): [ 8x + 3 = 5 + 12k ] Перенесем 3 на правую сторону уравнения: [ 8x = 5 + 12k - 3 ] [ 8x = 12k + 2 ] Разделим обе части на 8: [ x = \frac{12k + 2}{8} ] Упростим: [ x = \frac{3k + \frac{1}{4}}{2} ] [ x = \frac{3k + 1}{8} ]

Шаг 5: Найдём наименьший положительный корень

Для (k=0): [ x = \frac{3 \cdot 0 - 1}{8} = -\frac{1}{8} \quad (\text{не подходит, так как отрицательный}) ] [ x = \frac{3 \cdot 0 + 1}{8} = \frac{1}{8} \quad (\text{положительный}) ]

Для (k=1): [ x = \frac{3 \cdot 1 - 1}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4} \quad (\text{положительный}) ] [ x = \frac{3 \cdot 1 + 1}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} \quad (\text{положительный}) ]

Сравнив все найденные положительные корни ((\frac{1}{8}), (\frac{1}{4}), (\frac{1}{2})), наименьший положительный корень — это (\frac{1}{8}).

Ответ

Наименьший положительный корень уравнения (\sin\left(\frac{\pi(8x+3)}{6}\right) = 0.5) — это (x = \frac{1}{8}).