Сформулируйте предложения, обратные следующим теоремам. Какие из них являются теоремами? а) Если четырехугольник является ромбом, то его диагонали взаимно перпендикулярны. б) Если параллелограмм является ромбом, то его диагонали взаимно перпендикулярны. в) Если каждое слагаемое является четным числом, то и сумма четное число.
Обратные предложения к теоремам формулируются путем изменения условия с заключением местами. Рассмотрим обратные предложения для каждой из данных теорем и исследуем, являются ли они теоремами.
а) Исходная теорема: Если четырехугольник является ромбом, то его диагонали взаимно перпендикулярны.
Обратное предложение: Если диагонали четырехугольника взаимно перпендикулярны, то этот четырехугольник является ромбом.
Проверка: Обратное предложение не является теоремой. Пример контрпримера: квадрат. У квадрата диагонали взаимно перпендикулярны, но квадрат не обязательно является ромбом (ромб — это частный случай квадрата, но не наоборот). Следовательно, не всякий четырехугольник с взаимно перпендикулярными диагоналями является ромбом.
б) Исходная теорема: Если параллелограмм является ромбом, то его диагонали взаимно перпендикулярны.
Обратное предложение: Если диагонали параллелограмма взаимно перпендикулярны, то этот параллелограмм является ромбом.
Проверка: Обратное предложение является теоремой. В параллелограмме, если диагонали взаимно перпендикулярны, то все стороны параллелограмма равны, и он действительно является ромбом. Это утверждение можно доказать, используя свойства параллелограммов и ромбов.
в) Исходная теорема: Если каждое слагаемое является четным числом, то и сумма четное число.
Обратное предложение: Если сумма чисел является четной, то каждое слагаемое является четным числом.
Проверка: Обратное предложение не является теоремой. Пример контрпримера: сумма двух нечетных чисел. Например, 3 и 5 — оба нечетные числа, но их сумма 8 является четной. Следовательно, не всякая четная сумма обязана состоять из четных слагаемых.
Таким образом, из предложенных обратных утверждений, только обратное утверждение к пункту (б) является теоремой.
а) Если четырехугольник не является ромбом, то его диагонали не взаимно перпендикулярны. б) Если параллелограмм не является ромбом, то его диагонали не взаимно перпендикулярны. в) Если хотя бы одно слагаемое не является четным числом, то и сумма нечетное число.
Теоремой является только первое утверждение (а).
