Решите уравнение:(x+1)^4+(x+1)^2-6=0

Чтобы решить уравнение ((x+1)^4 + (x+1)^2 - 6 = 0), можно использовать замену переменной. Обозначим (y = (x+1)^2). Тогда уравнение преобразуется в:

[ y^2 + y - 6 = 0. ]

Это квадратное уравнение относительно переменной (y). Решим его с помощью дискриминанта. Формула для дискриминанта квадратного уравнения (ay^2 + by + c = 0) выглядит так:

[ D = b^2 - 4ac. ]

В нашем случае (a = 1), (b = 1), (c = -6). Подставим эти значения в формулу дискриминанта:

[ D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25. ]

Дискриминант (D = 25) больше нуля, следовательно, у уравнения два различных вещественных корня. Формула для нахождения корней квадратного уравнения:

[ y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}. ]

Подставим наши значения:

[ y_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm 5}{2}. ]

Таким образом, получаем два корня:

[ y_1 = \frac{-1 + 5}{2} = \frac{4}{2} = 2, ] [ y_2 = \frac{-1 - 5}{2} = \frac{-6}{2} = -3. ]

Теперь вернёмся к исходной переменной (x). Мы обозначили (y = (x+1)^2). Подставим значения (y_1) и (y_2):

1. Для (y_1 = 2):

   ((x+1)^2 = 2.)

   Решим это уравнение:

   [ x+1 = \pm\sqrt{2}. ]

   Следовательно, (x = -1 \pm \sqrt{2}).

   Таким образом, получаем два решения:

   [ x_1 = -1 + \sqrt{2}, ] [ x_2 = -1 - \sqrt{2}. ]

2. Для (y_2 = -3), уравнение ((x+1)^2 = -3) не имеет вещественных решений, поскольку квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным.

Таким образом, уравнение ((x+1)^4 + (x+1)^2 - 6 = 0) имеет два вещественных решения:

[ x_1 = -1 + \sqrt{2}, ] [ x_2 = -1 - \sqrt{2}. ]

Для решения данного уравнения, можно воспользоваться заменой переменной. Обозначим (x+1) за t. Тогда уравнение примет вид: t^4 + t^2 - 6 = 0.

Далее, это уравнение можно решить как квадратное уравнение относительно t^2. t^2 = ( -1 ± √(1 + 24) ) / 2 = ( -1 ± √25 ) / 2 = ( -1 ± 5 ) / 2.

Таким образом, получаем два возможных значения t^2: t^2 = 2 или t^2 = -3. Затем находим корни для t: t = ±√2 и t = ±√(-3).

Итак, возможные решения для исходного уравнения (x+1)^4 + (x+1)^2 - 6 = 0: 1) x = √2 - 1; 2) x = -√2 - 1; 3) x = √(-3) - 1; 4) x = -√(-3) - 1.