Решите пожалуйста уравнение 2sin^2x+5sinx-3=0 зарание спасибо!

Для решения данного уравнения нужно решить квадратное уравнение относительно sin(x).

Конечно! Давайте решим уравнение (2\sin^2x + 5\sinx - 3 = 0).

Это уравнение является квадратным относительно (\sin x). Для удобства введем замену: пусть (y = \sin x). Тогда уравнение принимает вид:

[2y^2 + 5y - 3 = 0.]

Теперь решим это квадратное уравнение методом дискриминанта. Формула для дискриминанта (D) квадратного уравнения (ay^2 + by + c = 0) имеет вид:

[D = b^2 - 4ac.]

Подставим наши коэффициенты (a = 2), (b = 5), (c = -3) в формулу:

[D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49.]

Так как дискриминант положителен, уравнение имеет два различных вещественных корня. Найдем их по формуле:

[y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}.]

Подставляем известные значения:

[y_{1,2} = \frac{-5 \pm \sqrt{49}}{4} = \frac{-5 \pm 7}{4}.]

Таким образом, получаем два корня:

[y_1 = \frac{-5 + 7}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2},]

[y_2 = \frac{-5 - 7}{4} = \frac{-12}{4} = -3.]

Теперь вернемся к переменной (\sin x). Мы нашли, что (\sin x = \frac{1}{2}) или (\sin x = -3).

Значение (\sin x = -3) невозможно, так как синус любого угла лежит в интервале ([-1, 1]). Поэтому рассматриваем только (\sin x = \frac{1}{2}).

Решение (\sin x = \frac{1}{2}) в интервале ([0, 2\pi)) даёт углы:

[x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{и} \quad x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi,]

где (k) — целое число.

Таким образом, общее решение уравнения:

[x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{или} \quad x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}.]

Для решения данного уравнения мы можем воспользоваться методом замены переменной. Обозначим sinx = t. Тогда уравнение примет вид: 2t^2 + 5t - 3 = 0.

Далее найдем корни этого квадратного уравнения, используя формулу дискриминанта: D = b^2 - 4ac, где a = 2, b = 5, c = -3.

D = 5^2 - 42(-3) = 25 + 24 = 49.

Таким образом, дискриминант положительный, уравнение имеет два корня. Находим корни уравнения: t1 = (-5 + √49) / 4 = 1, t2 = (-5 - √49) / 4 = -3/2.

Теперь зная корни уравнения, найдем значения x. Для этого воспользуемся обратной заменой: sinx = t.

Таким образом, получаем два решения уравнения: sinx1 = 1, sinx2 = -3/2.

Для первого корня sinx1 = 1, значит x1 = π/2 + 2πn, где n - целое число.

Для второго корня sinx2 = -3/2, что противоречит области определения функции синуса. Следовательно, второго корня нет.

Таким образом, решением уравнения 2sin^2x + 5sinx - 3 = 0 является x = π/2 + 2πn, где n - целое число.