Решите неравенство 5^(3х+1)-5^(3х-3)<=624 Обратите внимание, тут в скобках степени

Для решения неравенства ( 5^{3x+1} - 5^{3x-3} \leq 624 ) начнем с упрощения его.

1. Перепишем неравенство: [ 5^{3x+1} - 5^{3x-3} \leq 624 ]

2. Выделим общий множитель: Заметим, что ( 5^{3x-3} ) можно выразить через ( 5^{3x+1} ) как: [ 5^{3x-3} = \frac{5^{3x+1}}{5^4} = \frac{5^{3x+1}}{625} ] Подставим это в неравенство: [ 5^{3x+1} - \frac{5^{3x+1}}{625} \leq 624 ]

3. Объединим выражение: Вынесем ( 5^{3x+1} ) за скобки: [ 5^{3x+1} \left(1 - \frac{1}{625}\right) \leq 624 ] Упростим скобки: [ 1 - \frac{1}{625} = \frac{625 - 1}{625} = \frac{624}{625} ] Таким образом, неравенство примет вид: [ 5^{3x+1} \cdot \frac{624}{625} \leq 624 ]

4. Умножим обе стороны на ( \frac{625}{624} ) (так как это положительное число, знак неравенства не изменится): [ 5^{3x+1} \leq 625 ]

5. Запишем 625 как степень 5: Мы знаем, что: [ 625 = 5^4 ] Следовательно, неравенство можно переписать так: [ 5^{3x+1} \leq 5^4 ]

6. Сравним степени: Если основания равны, то можно сравнить показатели степеней: [ 3x + 1 \leq 4 ]

7. Решим неравенство: Выразим ( x ): [ 3x \leq 4 - 1 ] [ 3x \leq 3 ] [ x \leq 1 ]

8. Запишем ответ: Таким образом, решение неравенства: [ x \leq 1 ]

Это и есть окончательный ответ.

Рассмотрим неравенство:

[ 5^{3x+1} - 5^{3x-3} \leq 624 ]

Шаг 1. Упростим выражения в левой части

Используем свойства степеней. Напомним, что ( a^{m+n} = a^m \cdot a^n ). Тогда:

[ 5^{3x+1} = 5 \cdot 5^{3x}, ] [ 5^{3x-3} = \frac{5^{3x}}{5^3} = \frac{5^{3x}}{125}. ]

Подставим это в неравенство:

[ 5 \cdot 5^{3x} - \frac{5^{3x}}{125} \leq 624. ]

Шаг 2. Вынесем ( 5^{3x} ) за скобки

Вынесем ( 5^{3x} ), как общий множитель:

[ 5^{3x} \left( 5 - \frac{1}{125} \right) \leq 624. ]

Упростим выражение в скобках:

[ 5 - \frac{1}{125} = \frac{625}{125} - \frac{1}{125} = \frac{624}{125}. ]

Подставим это обратно:

[ 5^{3x} \cdot \frac{624}{125} \leq 624. ]

Шаг 3. Упростим неравенство

Разделим обе части неравенства на ( \frac{624}{125} ) (это положительное число, поэтому знак неравенства не изменится):

[ 5^{3x} \leq 125. ]

Шаг 4. Представим ( 125 ) как степень пятёрки

Заметим, что ( 125 = 5^3 ). Тогда неравенство становится:

[ 5^{3x} \leq 5^3. ]

Шаг 5. Уберём основания степеней

Так как основание ( 5 > 1 ), функция ( 5^t ) монотонно возрастает. Следовательно, можно просто убрать основания, сохранив знак неравенства:

[ 3x \leq 3. ]

Шаг 6. Решим относительно ( x )

Разделим обе части на ( 3 ):

[ x \leq 1. ]

Ответ:

Решением неравенства является:

[ x \leq 1. ]