Решить уравнение Корень из (x^2 + x -3) = Корень из (1-2x)

Чтобы решить уравнение

[ \sqrt{x^2 + x - 3} = \sqrt{1 - 2x}, ]

сначала рассмотрим области определения обеих частей уравнения. Для этого нужно, чтобы выражения под корнями были неотрицательными.

1. Область определения:
   • [ x^2 + x - 3 \geq 0 ]
   • [ 1 - 2x \geq 0 ]

Рассмотрим каждое неравенство по отдельности.

1.1. Решим неравенство ( x^2 + x - 3 \geq 0 ):

Для этого найдем корни квадратичного уравнения ( x^2 + x - 3 = 0 ) с помощью дискриминанта:

[ \Delta = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 1 + 12 = 13. ]

Корни уравнения:

[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{13}}{2}. ]

Таким образом, корни уравнения:

[ x_1 = \frac{-1 - \sqrt{13}}{2}, ] [ x_2 = \frac{-1 + \sqrt{13}}{2}. ]

Теперь определим знаки выражения ( x^2 + x - 3 ) на промежутках, заданных этими корнями. Так как у нас квадратный трехчлен с положительным старшим коэффициентом, он принимает отрицательные значения между корнями и положительные значения вне этого промежутка. Следовательно,

[ x \leq \frac{-1 - \sqrt{13}}{2} \quad \text{или} \quad x \geq \frac{-1 + \sqrt{13}}{2}. ]

1.2. Решим неравенство ( 1 - 2x \geq 0 ):

[ -2x \geq -1, ] [ x \leq \frac{1}{2}. ]

Таким образом, область определения уравнения будет пересечением этих промежутков:

[ x \in \left( -\infty, \frac{-1 - \sqrt{13}}{2} \right] \cup \left[ \frac{-1 + \sqrt{13}}{2}, \frac{1}{2} \right]. ]

1. Решим уравнение:

Квадрат обеих частей уравнения:

[ (\sqrt{x^2 + x - 3})^2 = (\sqrt{1 - 2x})^2, ] [ x^2 + x - 3 = 1 - 2x. ]

Перенесем все слагаемые в одну часть уравнения:

[ x^2 + x - 3 - 1 + 2x = 0, ] [ x^2 + 3x - 4 = 0. ]

Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант:

[ \Delta = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25. ]

Корни уравнения:

[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-3 \pm \sqrt{25}}{2}, ] [ x_1 = \frac{-3 - 5}{2} = -4, ] [ x_2 = \frac{-3 + 5}{2} = 1. ]

Теперь проверим, принадлежат ли эти корни области определения:

• ( x = -4 ):

  • ( x^2 + x - 3 = 16 - 4 - 3 = 9 \geq 0, )
  • ( 1 - 2(-4) = 1 + 8 = 9 \geq 0. )

• ( x = 1 ):

  • ( x^2 + x - 3 = 1 + 1 - 3 = -1 \not\geq 0. )

Таким образом, ( x = 1 ) не удовлетворяет области определения.

Следовательно, единственное решение уравнения:

[ x = -4. ]

Для начала возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корней: x^2 + x - 3 = 1 - 2x

Теперь преобразуем уравнение, чтобы получить квадратное уравнение: x^2 + x + 2x - 4 = 0 x^2 + 3x - 4 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью формулы дискриминанта: D = 3^2 - 41(-4) = 9 + 16 = 25 x = (-3 ± √25) / 2*1 x1 = (-3 + 5) / 2 = 1 x2 = (-3 - 5) / 2 = -4

Таким образом, уравнение корней из (x^2 + x -3) = корень из (1-2x) имеет два решения: x1 = 1 и x2 = -4.