Решить уравнение √5-x=√x-2

Рассмотрим уравнение (\sqrt{5 - x} = \sqrt{x - 2}). Чтобы решить его, следуем следующим шагам:

1. Проверка области определения:

   Для того чтобы корни квадратные были определены, необходимо, чтобы выражения под корнями были неотрицательными: [ 5 - x \geq 0 \quad \text{и} \quad x - 2 \geq 0. ] Из первого неравенства: [ x \leq 5. ] Из второго неравенства: [ x \geq 2. ] Таким образом, область определения уравнения: [ 2 \leq x \leq 5. ]

2. Избавление от корней:

   Для решения уравнения избавимся от корней, возведя обе части уравнения в квадрат: [ (\sqrt{5 - x})^2 = (\sqrt{x - 2})^2. ] Это дает: [ 5 - x = x - 2. ]

3. Решение линейного уравнения:

   Перенесем все слагаемые, содержащие (x), в одну сторону, а остальные в другую: [ 5 - x = x - 2 \implies 5 + 2 = x + x \implies 7 = 2x \implies x = \frac{7}{2} \implies x = 3.5. ]

4. Проверка найденного корня:

   Убедимся, что найденное значение (x = 3.5) удовлетворяет исходному уравнению и находится в области определения.

   Подставим (x = 3.5) в оригинальное уравнение: [ \sqrt{5 - 3.5} = \sqrt{3.5 - 2}. ] Справа и слева от знака равенства: [ \sqrt{1.5} = \sqrt{1.5}. ] Оба выражения равны, следовательно, (x = 3.5) является решением уравнения.

Таким образом, единственное решение уравнения (\sqrt{5 - x} = \sqrt{x - 2}) в области определения: [ x = 3.5. ]

Для решения данного уравнения нужно избавиться от корней. Возведем обе части уравнения в квадрат:

(√5 - x)^2 = (√x - 2)^2 5 - 2√5x + x^2 = x - 4√x + 4 x^2 - 2√5x + 5 = x - 4√x + 4 x^2 - 2√5x + 5 - x + 4√x - 4 = 0 x^2 - x - 2√5x + 4√x + 1 = 0 x^2 - x + 2√x(2 - √5) + 1 = 0

Далее можно воспользоваться методом подбора корней или другими методами решения квадратных уравнений.

x=3