Решить уравнения: (корень)x+3=(корень)5-x
Решить уравнения: (корень)x+3=(корень)5-x
x=1
Для решения данного уравнения, нужно избавиться от корней. Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корней:
(√x + 3)^2 = (√5 - x)^2
x + 6√x + 9 = 5 - 2√5x + x^2
Раскроем скобки:
x + 6√x + 9 = 5 - 2√5x + x^2
x + 6√x + 9 = 5 - 2√5x + x^2
Перенесем все члены уравнения в одну его сторону:
x + 6√x + 9 - 5 + 2√5x - x^2 = 0
x + 6√x - 2√5x - x^2 + 4 = 0
Теперь полученное уравнение можно решить с помощью методов решения квадратных уравнений.
Для решения уравнения (\sqrt{x+3} = \sqrt{5-x}) начнем с условия, что обе части уравнения определены, то есть аргументы квадратных корней должны быть неотрицательными:
Из первого условия получаем (x \geq -3), а из второго (x \leq 5). Таким образом, допустимый диапазон значений (x) — это ([-3, 5]).
Теперь возведем обе части исходного уравнения в квадрат: [ (\sqrt{x+3})^2 = (\sqrt{5-x})^2 ] [ x + 3 = 5 - x ]
Преобразуем полученное уравнение: [ x + x = 5 - 3 ] [ 2x = 2 ] [ x = 1 ]
Полученное значение (x = 1) находится внутри интервала ([-3, 5]), так что оно удовлетворяет условиям задачи. Проверим подстановкой в исходное уравнение: [ \sqrt{1+3} = \sqrt{5-1} ] [ \sqrt{4} = \sqrt{4} ] [ 2 = 2 ]
Подстановка подтверждает, что (x = 1) является решением уравнения. Других решений у уравнения нет, так как если было бы больше одного решения, они также должны были бы удовлетворять условию равенства корней, что приводит к невозможности нахождения других значений (x) в рамках допустимого диапазона, кроме (x = 1).
Итак, уравнение (\sqrt{x+3} = \sqrt{5-x}) имеет единственное решение (x = 1).
